Question

【题目】已知抛物线y=x2﹣2mx+m2+m﹣1（m是常数）的顶点为P，直线：y=x﹣1

（1）求证：点P在直线上；

（2）当m=﹣3时，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，与直线的另一个交点为Q，M是x轴下方抛物线上的一点，∠ACM=∠PAQ（如图），求点M的坐标；

（3）若以抛物线和直线的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）（﹣4，﹣3）；（3）m的值为0， ， ， ， ．

【解析】分析：（1）利用配方法得到y=(x-m)+m-1，点P（m，m-1），然后根据一次函数图象上点的坐标特征判断点P在直线l上；（2）当m= -3时，抛物线解析式为y=x+6x+5，根据抛物线与x轴的交点问题求出A（-5，0），易得C（0，5），通过解方程组 得P（-3，-4），Q（-2，-3），作ME⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，QG⊥x轴于G，如图，证明Rt△CME∽Rt△PAF，利用相似得，设M（x，x+6x+5），则，解得=0（舍去），= -4，于是得到点M的坐标为（-4，-3）；（3）通过解方程组

得P（m，m-1），Q（m+1，m），利用两点间的距离公式得到PQ=2，OQ=2m+2m+1，OP=2m-2m+1，然后分类讨论：当PQ=OQ时，2m+2m+1=2；当PQ=OP时，2m-2m+1=2；当OP=OQ时，2m+2m+1=2m-2m+1，再分别解关于m的方程求出m即可．

本题解析：

（1）证明：∵y=x2﹣2mx+m2+m﹣1=（x﹣m）2+m﹣1，

∴点P的坐标为（m，m﹣1），

∵当x=m时，y=x﹣1=m﹣1，

∴点P在直线l上；

（2）解：当m=﹣3时，抛物线解析式为y=x2+6x+5，

当y=0时，x2+6x+5=0，解得x1=﹣1，x2=﹣5，则A（﹣5，0），

当x=0时，y=x2+6x+5=5，则C（0，5），

可得解方程组，解得或，

则P（﹣3，﹣4），Q（﹣2，﹣3），

作ME⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，QG⊥x轴于G，如图，

∵OA=OC=5，

∴△OAC为等腰直角三角形，

∴∠ACO=45°，

∴∠MCE=45°﹣∠ACM，

∵QG=3，OG=2，

∴AG=OA﹣OG=3=QG，

∴△AQG为等腰直角三角形，

∴∠QAG=45°，

∵∠APF=90°﹣∠PAF=90°﹣（∠PAQ+45°）=45°﹣∠PAQ，

∵∠ACM=∠PAQ，

∴∠APF=∠MCE，

∴Rt△CME∽Rt△PAF，

∴，

设M（x，x2+6x+5），

∴ME=﹣x，CE=5﹣（x2+6x+5）=﹣x2﹣6x，

∴，

整理得x2+4x=0，解得x1=0（舍去），x2=﹣4，

∴点M的坐标为（﹣4，﹣3）；

（3）解：解方程组得或，则P（m，m﹣1），Q（m+1，m），

∴PQ2=（m+1﹣m）2+（m﹣m+1）2=2，OQ2=（m+1）2+m2=2m2+2m+1，OP2=m2+（m﹣1）2=2m2﹣2m+1，

当PQ=OQ时，2m2+2m+1=2，解得m1=，m2=；

当PQ=OP时，2m2﹣2m+1=2，解得m1=，m2=；

当OP=OQ时，2m2+2m+1=2m2﹣2m+1，解得m=0，

综上所述，m的值为0， ， ， ， ．