题目内容

【题目】如图,在△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,
∠BAD=45°,AD与BE交于点F,连接CF.

(1)求证:BF=2AE;
(2)若CD= ,求AD的长.

【答案】
(1)证明:∵ AD⊥BC,∠BAD=45°,

∴ ∠ABD=∠BAD=45°.

∴ AD=BD.

∵ AD⊥BC,BE⊥AC,

∴ ∠CAD+∠ACD=90°,∠CBE+∠ACD=90o

∴ ∠CAD=∠CBE.

又∵ ∠CDA=∠FDB=90°,

∴ △ADC≌△BDF.

∴ AC=BF.

∵ AB=BC,BE⊥AC,

∴ AE=EC,即AC=2AE.

∴ BF=2AE


(2)解:∵ △ADC≌△BDF,∴ DF=CD=

∴ 在Rt△CDF中,CF= =2.

∵ BE⊥AC,AE=EC,∴ AF=FC=2.

∴ AD=AF+DF=2+


【解析】(1)由AD⊥BC,∠BAD=45°,证得AD=BD.再根据垂直的定义及同角的余角相等得出∠CAD=∠CBE.因此证明△ADC≌△BDF,得出AC=BF.即可得出结论。
(2)由△ADC≌△BDF得出DF=CD,在Rt△CDF中,利用勾股定理求出CF的长,从而求出AD的长。

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