题目内容
【题目】如图,已知抛物线的图象经过点
、
和原点
,
为直线
上方抛物线上的一个动点.
(1)求直线及抛物线的解析式;
(2)过点作
轴的垂线,垂足为
,并与直线
交于点
,当
为等腰三角形时,求
的坐标;
(3)设关于对称轴的点为
,抛物线的顶点为
,探索是否存在一点
,使得
的面积为
,如果存在,求出
的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)直线的解析式为
,二次函数的解析式是
;(2)
;(3)存在,
或
【解析】
(1)先将点A代入求出OA表达式,再设出二次函数的交点式,将点A代入,求出二次函数表达式;
(2)根据题意得出当为等腰三角形时,只有OC=PC,设点D的横坐标为x,表示出点P坐标,从而得出PC的长,再根据OC和OD的关系,列出方程解得;
(3)设点P的坐标为,根据条件的触点Q坐标为
,再表示出
的高,从而表示出
的面积,令其等于
,解得即可求出点P坐标.
解:(1)设直线的解析式为
,
把点坐标
代入得:
,
直线的解析式为
;
再设,
把点坐标
代入得:
,
函数的解析式为,
∴直线的解析式为
,二次函数的解析式是
.
(2)设的横坐标为
,则
的坐标为
,
∵为直线
上方抛物线上的一个动点,
∴.
此时仅有,
,
∴,解得
,
∴;
(3)函数的解析式为,
∴对称轴为,顶点
,
设,
则,
到直线
的距离为
,
要使的面积为
,
则,即
,
解得:或
,
∴或
.

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