题目内容
【题目】阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
如图1，△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且∠BAC=2∠DCB，求证：AC=AD．
小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：
方法1：如图2，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E．
方法2：如图3，作∠DCF=∠DCB，与AB相交于点F．
（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明AC=AD．
用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：
（2）如图4，△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，且∠BDE=2∠ABC，点F在BD上，且∠AFE=∠BAC，延长DC、FE，相交于点G，且∠DGF=∠BDE．
①在图中找出与∠DEF相等的角，并加以证明；
②若AB=kDF，猜想线段DE与DB的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠DEF=∠FDG，证明见解析；②结论：BD=kDE．理由见解析.
【解析】（1）方法一：如图2中，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E，想办法证明△AEC≌△AED即可；
方法二：如图3中，作∠DCF＝∠DCB，与AB相交于点F，想办法证明∠ACD＝∠ADC即可；
（2）①如图4中，结论：∠DEF＝∠FDG．理由三角形内角和定理证明即可；②结论：BD＝kDE．如图4中，如图延长AC到K，使得∠CBK＝∠ABC．首先证明△DFE∽△BAK，推出
＝
，推出BK＝kDE，再证明△BCD≌△BCK，可得BD＝BK.
解：（1）方法一：如图2中，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E．
∵∠CAE=∠DAE，∠CAB=2∠DCB，
∴∠CAE=∠CDB．
∵∠CDB+∠ACD=90°，
∴∠CAE+∠ACD=90°，
∴∠AEC=90°．
∵AE=AE，∠AEC=∠AED=90°，
∴△AEC≌△AED，
∴AC=AD；
方法二：如图3中，作∠DCF=∠DCB，与AB相交于点F．
∵∠DCF=∠DCB，∠A=2∠DCB，
∴∠A=∠BCF．
∵∠BCF+∠ACF=90°，
∴∠A+∠ACF=90°，
∴∠AFC=90°，
∵∠ACF+∠BCF=90°，∠BCF+∠B=90°，
∴∠ACF=∠B，
∵∠ADC=∠DCB+∠B=∠DCF+∠ACF=∠ACD，
∴AC=AD；
（2）①如图4中，结论：∠DEF=∠FDG．
理由：在△DEF中，∠DEF+∠EFD+∠EDF=180°，
在△DFG中，∠GFD+∠G+∠FDG=180°，
∵∠EFD=∠GFD，∠G=∠EDF，
∴∠DEF=∠FDG．
②结论：BD=kDE，
理由：如图4中，如图延长AC到K，使得∠CBK=∠ABC，
∵∠ABK=2∠ABC，∠EDF=2∠ABC，
∴∠EDF=∠ABK．
∵∠DFE=∠A，
∴△DFE∽△BAK，
∴＝，
∴BK=kDE，
∴∠AKB=∠DEF=∠FDG．
∵BC=BC，∠CBD=∠CBK，
∴△BCD≌△BCK，
∴BD=BK，
∴BD=kDE
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