题目内容
如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,DC=BC,E是梯形内一点,F是梯形外一点,且∠EDC=∠FBC,DE=BF,(1)证明:CE⊥CF;
(2)当BE:CE=1:2,∠BEC=135°时,求sin∠EBF的值.
分析:(1)由已知条件易证△DEC≌△BFC,由∠ECD,∠BCF都和∠BCE互余,即证CE⊥CF;
(2)连接EF,由(1)易得△CEF为等腰直角三角形,∠BEF=90°,设BE=k,用k分别表示EF,BF,则在直角三角形BEF中,即可求sin∠EBF的值.
(2)连接EF,由(1)易得△CEF为等腰直角三角形,∠BEF=90°,设BE=k,用k分别表示EF,BF,则在直角三角形BEF中,即可求sin∠EBF的值.
解答:(1)证明:∵∠EDC=∠FBC,DE=BF,DC=BC
∴△DEC≌△BFC(2分)
∴∠ECD=∠FCB(3分)
∵∠BCD=90°
∴∠ECD+∠BCE=90°,
∴∠FCB+∠BCE=90°
∴CE⊥CF;(5分)
(2)解:连接EF,由(1)得:△DEC≌△BFC,∴CE=CF
又CE⊥CF,∴∠CEF=45°(6分)
又∠BEC=135°,∴∠BEF=90°(7分)
由∵BE:CE=1:2,
∴设BE=k,CE=2k,∴EF=2
k
∴BF=
=3k(9分)
∴sin∠EBF=
=
.(10分)
∴△DEC≌△BFC(2分)
∴∠ECD=∠FCB(3分)
∵∠BCD=90°
∴∠ECD+∠BCE=90°,
∴∠FCB+∠BCE=90°
∴CE⊥CF;(5分)
(2)解:连接EF,由(1)得:△DEC≌△BFC,∴CE=CF
又CE⊥CF,∴∠CEF=45°(6分)
又∠BEC=135°,∴∠BEF=90°(7分)
由∵BE:CE=1:2,
∴设BE=k,CE=2k,∴EF=2
2 |
∴BF=
BE2+BF2 |
∴sin∠EBF=
EF |
BF |
2
| ||
3 |
点评:本题考查了全等三角形的判定,直角三角形的性质以及三角函数和勾股定理的综合运算.
练习册系列答案
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A、3cm | B、7cm | C、3cm或7cm | D、2cm |