Question

【题目】我们定义：如图1，在中，把AB绕点A顺时针旋转得到，把AC绕点A逆时针旋转得到，连接当时，我们称是的“旋补三角形”， 边上的中线AD叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

特例感知：

在图2，图3中，是的“旋补三角形”，AD是的“旋补中线”．

如图2，当为等边三角形时，AD与BC的数量关系为______BC；

如图3，当，时，则AD长为______．

猜想论证：

在图1中，当为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．

拓展应用

如图4，在四边形ABCD，，，，，在四边形内部是否存在点P，使是的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①;②4；（2）结论：．详见解析；（3）的“旋补中线”长．

【解析】

(1)①首先证明是含有是直角三角形，可得即可解决问题；②首先证明≌，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；(2)结论：如图1中，延长AD到M，使得，连接，，首先证明四边形是平行四边形，再证明≌，即可解决问题；(3)存在如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作的中线连接DF交PC于想办法证明，，再证明，即可得出结论．

(1)①如图2中，

是等边三角形，

，

，

，

，，

，

，

，

故答案为．

②如图3中，

，，

，

，，

≌，

，

，

，

故答案为4．

结论：．

理由：如图1中，延长AD到M，使得，连接，

，，

四边形是平行四边形，

，

，，

，，

≌，

，

．

存在．

理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作的中线PN．

连接DF交PC于O．

，

，

在中，，，，

，，，

在中，，，，

，

，

，

，，

，，

在中，，，

，

，

，

，

，

，，

易证≌，

，，

四边形CDPF是矩形，

，

，

是等边三角形，

，，

，

，

是的“旋补三角形”，

．

的“旋补中线”长．