Question

【题目】如图1，P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连PQ交AC边于

点D．

（1）证明：PD=DQ．

（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB=2，求DE的长．

Answer 1

【答案】答案见解析.

【解析】

(1）利用平行线的性质结合全等三角形的判定与性质得出即可；

（2）过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE= AC即可．

证明：如图1，过点P作PF∥BC交AC于点F；

∵PF∥BC，

∴△APF∽△ABC，
又∵△ABC是等边三角形，

∴△APF是等边三角形，

∴∠APF=∠BCA=60°，AP=PF=AF=CQ，

∴∠FDP=∠DCQ，∠FDP=∠CDQ，

∵在△PDF和△QDC中，

∴△PDF≌△QDC（AAS），

∴PD=DQ；

（2）解：如图2，过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
由（1）可知∴△PFD≌△QCD（AAS），

∴FD=CD，

∵AE=EF，

∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DE= AC，又∵AC=2，

∴DE=1．