Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC上，DE⊥AB于点E，且CD＝DE．点F在BC上，连接EF，AF，若∠CEF＝45°，∠B＝2∠CAF，BF＝2，则AB的长为_____．

Answer 1

【答案】10

【解析】

以AC为轴将△ACF翻至△ACK，在AB边上截取BL＝BF＝2，设CF＝x，则EL＝CK＝x，分别用含x的式子表示出Rt△ABC中的三边长，根据勾股定理列方程，解得x值，则可得答案．

解：如图，以AC为轴将△ACF翻至△ACK，在AB边上截取BL＝BF＝2

∵∠ACB＝90°，DE⊥AB

∴∠BCE+∠DCE＝90°，∠BEC+∠DEC＝90°

∵CD＝DE

∴∠DCE＝∠DEC

∴∠BCE＝∠BEC

∴BC＝BE

∵BF=BL=2

∴EL=CF

设CF＝x，则EL＝CK＝x

∴BK＝2x+2，BC＝BE＝x+2

设∠B＝2∠CAF＝2α

则∠CAK＝α，∠K＝90°﹣α

∴∠KAB＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α

∴∠K＝∠KAB

∴BA＝BK＝2x+2

在△CBL和△EBF中

∴△CBL≌△EBF（SAS）

∴∠BCL＝∠BEF

又∵∠CEF＝45°，∠BCE＝∠BEC

∴∠ECL＝∠CEF＝45°

∴∠ALC＝180°﹣45°﹣45°﹣∠BEF＝90°﹣∠BEF

∵∠ACL＝90°﹣∠BCL，∠BCL＝∠BEF

∴∠ALC＝∠ACL

∴AC＝AL＝2x

在Rt△ABC中，由勾股定理得：

（x+2）2+（2x）2＝（2x+2）2

解得x＝4或x＝0（舍）

∴AB＝10

故答案为：10．