Question

【题目】抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标
（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得 ，

解得 ，

∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；

（2）解：如图1，连接BC，过Py轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H，

在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得0=x2﹣2x﹣3，解得x=﹣1或x=3，

∴A点坐标为（﹣1，0），

∴AB=3﹣（﹣1）=4，且OC=3，

∴S△ABC= AB×OC= ×4×3=6，

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴直线BC解析式为y=x﹣3，

设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），

则M点坐标为（x，x﹣3），

∵P点在第四限，

∴PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，

∴S△PBC= PMOH+ PMHB= PM（OH+HB）= PMOB= PM，

∴当PM有最大值时，△PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大，

∵PM=﹣x2+3x=﹣（x﹣ ）2+ ，

∴当x= 时，PMmax= ，则S△PBC= × = ，

此时P点坐标为（ ，﹣ ）

（3）解：如图2，设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，

则∠AGP=∠GNC+∠GCN，

当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB，

又∠AGB+∠CGB=180°，

∴∠AGB=∠CGB=90°，

∴∠ACO=∠OBN，

在Rt△AON和Rt△NOB中，

∴Rt△AON≌Rt△NOB（ASA），

∴ON=OA=1，

∴N点坐标为（0，﹣1），

设直线m解析式为y=kx+d，把B、N两点坐标代入可得 ，解得 ，

∴直线m解析式为y= x﹣1，

即存在满足条件的直线m，其解析式为y= x﹣1．

【解析】（1）利用待定系数法即可得出结论；（2）先确定出点A的坐标，进而求出AB，再用三角形的面积公式求出三角形ABC的面积，最后求出PM，即可建立三角形PBC的面积的函数关系式，即可得出结论；（3）先判断出∠ACO=∠OBN进而得出Rt△AON≌Rt△NOB即可确定出N点坐标为（0，﹣1），最后用待定系数法即可得出结论．
【考点精析】利用二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．