题目内容
【题目】已知：如图所示的两条抛物线的解析式分别是y1＝－ax2－ax＋1，y2＝ax2－ax－1(其中a为常数，且a＞0)．
（1）请写出三条与上述抛物线有关的不同类型的结论；
（2）当a＝
时，设y1＝－ax2－ax＋1与x轴分别交于M，N两点(M在N的左边)，y2＝ax2－ax－1与x轴分别交于E，F两点(E在F的左边)，观察M，N，E，F四点坐标，请写出一个你所得到的正确结论，并说明理由；
（3）设上述两条抛物线相交于A，B两点，直线l，l1，l2都垂直于x轴，l1，l2分别经过A，B两点，l在直线l1，l2之间，且l与两条抛物线分别交于C，D两点，求线段CD的最大值？
【答案】（1）抛物线y1＝－ax2－ax＋1开口向下，或抛物线y2＝ax2－ax－1开口向上；抛物线y1＝－ax2－ax＋1的对称轴是x＝－
，或抛物线y2＝ax2－ax－1的对称轴是x＝；抛物线y1＝－ax2－ax＋1经过点(0，1)，或抛物线y2＝ax2－ax－1经过点(0，－1)；（2）因为MN＝3，EF＝3，所以MN＝EF，见解析；（3）2
【解析】
（1）根据给出的抛物线的解析式并且结合函数的图象写出三条不同的结论即可；
（2）先将a=代入抛物线解析式，分别求得M、N、E、F四点坐标，再根据四点坐标写出合理的结论；
（3）根据题意求出CD关于x的解析式，然后求出当x=0时，CD的值最大．
解：(1)答案不唯一，只要合理均可．例如：
①抛物线y1＝－ax2－ax＋1开口向下，
或抛物线y2＝ax2－ax－1开口向上；
②抛物线y1＝－ax2－ax＋1的对称轴是x＝
，
或抛物线y2＝ax2－ax－1的对称轴是x＝；
③抛物线y1＝－ax2－ax＋1经过点(0，1)，
或抛物线y2＝ax2－ax－1经过点(0，－1)；
④抛物线y1＝－ax2－ax＋1与y2＝ax2－ax－1的形状相同，但开口方向相反；
⑤抛物线y1＝－ax2－ax＋1与y2＝ax2－ax－1都与x轴有两个交点；
⑥抛物线y1＝－ax2－ax＋1经过点(－1，1)或抛物线y2＝ax2－ax－1经过点(1，－1)；
(2)当a＝时，y1＝－x2－x＋1，令－x2－x＋1＝0，
解得xM＝－2，xN＝1.
y2＝x2－x－1，令x2－x－1＝0，解得xE＝－1，xF＝2.
①∵xM＋xF＝0，xN＋xE＝0，∴点M与点F关于原点对称，点N与点E关于原点对称；
②∵xM＋xF＋xN＋xE＝0，
∴M，N，E，F四点横坐标的代数和为0；
③∵MN＝3，EF＝3，∴MN＝EF(或ME＝NF)．
(3)∵a＞0，∴抛物线y1＝－ax2－ax＋1开口向下，抛物线y2＝ax2－ax－1开口向上．
根据题意，得CD＝y1－y2＝(－ax2－ax＋1)－(ax2－ax－1)＝－2ax2＋2.
∴当x＝0时，CD的最大值是2.
【题目】为拓宽学生视野，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带
名学生，还剩
名学生没人带；若每位老师带
名学生，则有一位老师少带
名学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示．
甲种客车 | 已和客车 | |
载客量（人/量） |
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租金（元/辆） |
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|
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过
元，为了安全，每辆客车上至少要有
名老师．
（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有名老师，可求得租用客车总数为______辆．
（3）在（2）的条件下，你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
