题目内容
已知:如图,等边△ABC的边长是4,D是边BC上的一个动点(与点B、C不重合),连接AD,作AD的垂直平分线分别与边AB、AC交于点E、F.
(1)求△BDE和△DCF的周长和;
(2)设CD长为x,△BDE的周长为y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)当△BDE是直角三角形时,求CD的长.
(1)求△BDE和△DCF的周长和;
(2)设CD长为x,△BDE的周长为y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)当△BDE是直角三角形时,求CD的长.
(1)∵EF垂直平分AD,
∴AE=DE,AF=DF.(1分)
∴C△BDE+C△CDF=BE+BD+DE+CD+DF+CF=BC+AC+AB.(1分)
∵BC=AC=AB=4,
∴C△BDE+C△CDF=12.(1分)
(2)∵CD=x,BC=4,
∴BD=4-x.(1分)
∵DE=AE,
∴C△BDE=AB+BD,
即y=4+4-x=8-x,
所以,y=8-x.(1分)
定义域为0<x<4.(1分)
(3)∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=60°.
①当∠BED=90°时,∠BDE=30°,
∴BE=
BD=
(4-x),DE=
(4-x),
∵BE+DE=4,
∴
(4-x)+
(4-x)=4,
解得x=8-4
.(1分)
②当∠EDB=90°时,∠BED=30°,
∴BE=2BD=2(4-x),DE=
(4-x),
∵BE+DE=4,
∴2(4-x)+
(4-x)=4,
解得x=4
-4.(1分)
综上所述,当△BDE是直角三角形时,CD的长为8-4
或4
-4.(1分)
∴AE=DE,AF=DF.(1分)
∴C△BDE+C△CDF=BE+BD+DE+CD+DF+CF=BC+AC+AB.(1分)
∵BC=AC=AB=4,
∴C△BDE+C△CDF=12.(1分)
(2)∵CD=x,BC=4,
∴BD=4-x.(1分)
∵DE=AE,
∴C△BDE=AB+BD,
即y=4+4-x=8-x,
所以,y=8-x.(1分)
定义域为0<x<4.(1分)
(3)∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=60°.
①当∠BED=90°时,∠BDE=30°,
∴BE=
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∵BE+DE=4,
∴
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解得x=8-4
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②当∠EDB=90°时,∠BED=30°,
∴BE=2BD=2(4-x),DE=
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∵BE+DE=4,
∴2(4-x)+
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解得x=4
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综上所述,当△BDE是直角三角形时,CD的长为8-4
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