题目内容

已知:如图,在矩形ABCD中,AC是对角线.点P为矩形外一点且满足AP=PC,AP⊥PC.PC交AD于点N,连接DP,过点P作PM⊥PD交AD于M.
(1)若AP=
5
,AB=
1
3
BC,求矩形ABCD的面积;
(2)若CD=PM,求证:AC=AP+PN.
(1)∵AP⊥CP且AP=CP,
∴△APC为等腰直角三角形,
∵AP=
5

∴AC=
10

∵AB=
1
3
BC,
∴设AB=x,BC=3x,
∴在Rt△ABC中,
x2+(3x)2=10,
10x2=10,
x=1,
∴SABCD=AB•BC=1×3=3;

(2)延长AP,CD交于Q,
∵∠1+∠CND=∠2+∠PNA=90°,
且∠CND=∠ANP,
∴∠1=∠2,
又∠3+∠5=∠4+∠5=90°,
∴∠3=∠4,
在△APM和△CPD中
∠1=∠2
AP=CP
∠3=∠4

∴△APM≌△CPD(ASA),
∴DP=PM,
又∵CD=PM,
∴CD=PD,
∴∠1=∠4=∠3,
∵∠1+∠Q=∠3+∠6=90°
∴∠Q=∠6
∴DQ=DP=CD
∴D为CQ中点,
又∵AD⊥CQ
∴AC=AQ=AP+PQ,
在△APN和△CPQ中
∠1=∠2
AP=CP
∠APC=∠CPQ

∴△APN≌△CPQ(ASA),
∴PQ=PN
∴AC=AP+PQ=AP+PN.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网