Question

如图，已知抛物线经过A（－3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；
（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．
①求S与m的函数关系式；
②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标； 若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线经过A（－3，0），B（1，0），
∴可设抛物线交点式为。
又∵抛物线经过C（0，3），∴。
∴抛物线的解析式为：，即。
（2）∵△PBC的周长为：PB+PC+BC，且BC是定值。
∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小。
∵点A、点B关于对称轴I对称，
∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点。

∵AP=BP，∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC。
∵A（－3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=3，BC=。
∴△PBC的周长最小是：。
（3）①∵抛物线顶点D的坐标为（﹣1，4），A（﹣3，0），
∴直线AD的解析式为y=2x+6
∵点E的横坐标为m，∴E（m，2m+6），F（m，）
∴。
∴。
∴S与m的函数关系式为。
②，
∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1，此时点E的坐标为（﹣2，2）。

解析