题目内容

如图,在平面直角坐标系中,顶点为(3,4)的抛物线交 y轴与A点,交x轴与B、C两点(点B在点C的左侧),已知A点坐标为(0,-5).

(1)求此抛物线的解析式;
(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线与点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系,并给出证明.
(3)在抛物线上是否存在一点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形.若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1)∵抛物线的顶点为(3,4),∴可设此抛物线的解析式为:
∵此抛物线过点A(0,-5),∴,解得
∴此抛物线的解析式为:,即
(2)此时抛物线的对称轴与⊙C相离。证明如下:
,即,得x=1或x=5,
∴B(1,0),C(5,0)。
令x=1,得,∴A(0,-5)。
如图,过点C作CE⊥BD于点E,作抛物线的对称轴交x轴于点F,

∵AB⊥BD,∴∠ABO=900-∠ABO=∠CBE。
∵∠AOB=∠BEC=900,∴△AOB∽△BEC。

又∵OB=1,OA=5,∴根据勾股定理,得
又∵BC=4,∴,即
∵CF=2,∴,即
∴抛物线的对称轴与⊙C相离。
(3)存在。
假设存在满足条件的点
∵点在抛物线上,∴



①当∠A=900时,在中,由勾股定理,得 ,
,整理,得
,解得,∴
∴点P为(7,-12)或(0,-5)(舍去)。
②当∠C=900时,在中,由勾股定理,得
,整理,得
,解得,∴
∴点P为(2,3)或(5,0)(舍去)。
综上所述,满足条件的点P的坐标为(7,-12)或(2,3)。

解析

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