题目内容
【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于A(﹣1,0),B(5,0)两点,与y轴交于点C(0,2)
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为抛物线的顶点,连接BC、CM、BM,求△BCM的面积;
(3)连接AC,在x轴上是否存在点P使△ACP为等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+x+2;(2)6;(3)存在P1、P2、P3、P4四个点,它们的坐标分别是P1(﹣1﹣,0)、P2(﹣1,0)、P3(,0)、P4(1,0).
【解析】
试题分析:(1)、将A(﹣1,0),B(5,0),C(0,2)三点坐标分别代入y=ax2+bx+c,求出a、b、c的值,从而确定抛物线解析式;(2)、先求出顶点M的坐标,然后过M作MN垂直y轴于N,把△BCM的面积转化成梯形OBMN的面积减去两个直角三角形的面积,求出相应的长度,代入面积公式即可;(3)、因为P点在x轴上,∴P点纵坐标为0,因为AO=1,CO=2,所以AC=,然后分类讨论,根据AC为腰,AC为底两种情况求P点坐标.当AC为腰时,分为A为等腰三角形的顶点(左右各有一点P),C为等腰三角形的顶点(有一点P),两种情况求P点坐标;当AC为底,P为顶点时,作线段AC的垂直平分线交x轴于点P,利用勾股定理求出OP,进而得到P点坐标.
试题解析:(1)、因为抛物线经过A,B,C三点,所以将A(﹣1,0),B(5,0),C(0,2)分别代入y=ax2+bx+c得,a-b+c=0,25a+5b+c=0,c=2;组成三元一次方程组,解得a=﹣,b=,c=2,∴抛物线的解析式是y=﹣x2+x+2;
(2)、先根据顶点坐标公式:,和解析式求出顶点M的坐标,顶点M的坐标是M(2,).
过M作MN垂直y轴于N,如图,S△BCM=S四边形OBMN﹣S△OBC﹣S△MNC,其中CN=-2=,MN=2,BO=5,∴S△BCM=(2+5)﹣×5×2﹣×(﹣2)×2=6;
(3)、因为P点在x轴上,∴P点纵坐标为0,因为AO=1,CO=2,所以AC=,分类讨论,根据AC为腰,AC为底两种情况求P点坐标.当以AC为腰时,在x轴上有两个点分别为P1,P2,AP1=AP2=AC=,P1在x轴负半轴,P2在x轴正半轴,∵0P1=1+,OP2=﹣1,∴P1,P2的坐标分别是P1(﹣1﹣,0),P2(﹣1,0);当以AC为底,P为顶点时,作AC的垂直平分线交x轴于P3,连接CP3,设OP3为x,因为CP3=AP3,由勾股定理得:,解得x=,则P3的坐标为P3(,0).当AC为腰, C为等腰三角形的顶点时,AC=PC,OP=AO=1,则P4(1,0).所以存在P1、P2、P3、P4四个点,使△ACP为等腰三角形,它们的坐标分别是P1(﹣1﹣,0)、P2(﹣1,0)、P3(,0)、P4(1,0).