题目内容
【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,O是AB上一点,以OA为半径的⊙O经过点D。
(1)求证:BC是⊙O切线;
(2)若BD=5,DC=3,求AC的长。
【答案】(1)证明过程见解析;(2)AC=6.
【解析】
试题分析:(1)连接OD,根据OA=OD得出∠OAD=∠ODA,根据角平分线可得∠OAD=∠DAC,从而可以得出:∠ODA=∠DAC,说明OD∥AC,得到所求的结论;(2)、过点D作DE⊥AB,根据角平分线的性质得到DE=DC=3,AC=AE,根据勾股定理得到BE=4,然后设AC=x,则AB=x+4,BC=8,根据直角△ABC的勾股定理求出AC的长度.
试题解析:(1)、连接OD. ∵ OA=OD AD平分∠BAC ∴ ∠ODA=∠OAD ∠OAD=∠CAD
∴∠ODA=∠CAD ∴ OD//AC ∴ ∠ODB=∠C=90° ∴ BC是⊙O的切线.
(2)过D点作AB的垂线段DE ∴DE=DC=3,BD=5, 则BE=4,
又∵AE=AC,在直角△ABC中运用勾股定理,设AC=x,则 解得:x=6,∴ AC=6
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