题目内容
【题目】如图1，△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠CAB的角平分线AE与 AB的垂直平分线DE相交于点E.
（1）如图2，若点E正好落在边BC上.
①求∠B的度数
②证明：BC=3DE
（2）如图3，若点E满足C、E、D共线.
求证：AD+DE=BC.
【答案】（1）①30°，②见解析；（2）见解析.
【解析】
(1)由∠C=90°，∠CAB的角平分线AE与 AB的垂直平分线DE相交于点E，可直接求出∠B的度数.先证明 BE=2DE，易得BC=3DE
(2) 过点E作EF⊥AC于点F，先证明△ABC是等腰直角三角形△CEF是等腰直角三角形，再证明△ADE≌△AFE（HL）即可.
（1）①∵AE平分∠CAB
∴∠CAE=∠DAE
又∵ED是AB的垂直平分线
∴EA=EB
∴∠B=∠DAE
∴∠CAE=∠DAE=∠B
又∵∠C=90°
∴∠B=
×90°=30°
②∵AE平分∠CAB，且EC⊥AC，ED⊥AB
∴EC=ED
在Rt△EDB中，∠B=30°
∴BE=2DE
BC=BE+CE=BE+DE=3DE
（2）过点E作EF⊥AC于点F，
∵ED是AB的垂直平分线，且C、E、D共线
∴CD也是AB的垂直平分线
∴CA=CB
又∠ACB=90°
∴△ABC是等腰直角三角形.
∴∠ACD=45°
∴△CEF是等腰直角三角形.
∴EF=CF
∵AE平分∠CAB，且EF⊥AC，ED⊥AB
∴EF=ED
∴ED=FC
在Rt△ADE和Rt△AFE中
EF=ED，AE=AE，
△ADE≌△AFE（HL）
∴AD=AF
∴BC=AC=AF+FC=AD+DE.
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