题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上,OC=8,OE=17,抛物线y= x2﹣3x+m与y轴相交于点A,抛物线的对称轴与x轴相交于点B,与CD交于点K.
(1)将矩形OCDE沿AB折叠,点O恰好落在边CD上的点F处.
①点B的坐标为(、),BK的长是 , CK的长是;
②求点F的坐标;
③请直接写出抛物线的函数表达式;
(2)将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠,点O恰好落在边CD上的点G处,连接OG,折痕与OG相交于点H,点M是线段EH上的一个动点(不与点H重合),连接MG,MO,过点G作GP⊥OM于点P,交EH于点N,连接ON,点M从点E开始沿线段EH向点H运动,至与点N重合时停止,△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2 , 在点M的运动过程中,S1S2(即S1与S2的积)的值是否发生变化?若变化,请直接写出变化范围;若不变,请直接写出这个值.
【答案】
(1)10,0,8,10
(2)解:不变.S1S2=289.
理由:如图2中,
在Rt△EDG中,∵GE=EO=17,ED=8,
∴DG= =
=15,
∴CG=CD﹣DG=2,
∴OG= =
=2
,
∵GP⊥OM,MH⊥OG,
∴∠NPN=∠NHG=90°,
∵∠HNG+∠HGN=90°,∠PNM+∠PMN=90°,∠HNG=∠PNM,
∴∠HGN=∠NMP,
∵∠NMP=∠HMG,∠GHN=∠GHM,
∴△GHN∽△MHG,
∴ =
,
∴GH2=HNHM,
∵GH=OH= ,
∴HNHM=17,
∵S1S2= OGHN
OGHM=(
×2
)217=289
【解析】S1S2解:(1)如图1中,
①∵抛物线y= x2﹣3x+m的对称轴x=﹣
=10,
∴点B坐标(10,0),
∵四边形OBKC是矩形,
∴CK=OB=10,KB=OC=8,
故答案分别为10,0,8,10.
②在Rt△FBK中,∵∠FKB=90°,BF=OB=10,BK=OC=8,
∴FK= =6,
∴CF=CK﹣FK=4,
∴点F坐标(4,8).
③设OA=AF=x,
在Rt△ACF中,∵AC2+CF2=AF2,
∴(8﹣x)2+42=x2,
∴x=5,
∴点A坐标(0,5),
代入抛物线y= x2﹣3x+m得m=5,
∴抛物线为y= x2﹣3x+5.
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识,掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2,以及对矩形的性质的理解,了解矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等.
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