Question

如图，已知直线AB与x轴交于点C，与双曲线y=

k

x

交于A（3，

20

3

）、B（-5，a）两点．AD⊥x轴于点D，BE∥x轴且与y轴交于点E．
（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；
（2）判断四边形CBED的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点A代入双曲线方程求得k值，即利用待定系数法求得双曲线方程；然后将B点代入其中，从而求得a值；设直线AB的解析式为y=mx+n，将A、B两点的坐标代入，利用待定系数法解答；
（2）由点C、D的坐标、已知条件“BE∥x轴”及两点间的距离公式求得，CD=5，BE=5，且BE∥CD，从而可以证明四边形CBED是平行四边形；然后在Rt△OED中根据勾股定理求得ED=5，所以ED=CD，从而证明四边形CBED是菱形．

解答：解：（1）∵双曲线y=

k

x

过A（3，

20

3

），
∴k=20．
把B（-5，a）代入y=

20

x

，得
a=-4．
∴点B的坐标是（-5，-4）．（2分）
设直线AB的解析式为y=mx+n，
将A（3，

20

3

）、B（-5，-4）代入，得

20 3 =3m+n -4=-5m+n

，
解得：

m= 4 3 n= 8 3

，
∴直线AB的解析式为：y=

4

3

x+

8

3

；（4分）

（2）四边形CBED是菱形．理由如下：（5分）
∵直线AB的解析式为：y=

4

3

x+

8

3

，
∴当y=0时，x=-2，
∴点C的坐标是（-2，0）；
∵点D在x轴上，AD⊥x轴，A（3，

20

3

），
∴点D的坐标是（3，0），
∵BE∥x轴，
∴点E的坐标是（0，-4）．
而CD=5，BE=5，且BE∥CD．
∴四边形CBED是平行四边形．（6分）
在Rt△OED中，ED²=OE²+OD²，
∴ED=

32+42

=

9+16

=

25

=5，
∴ED=CD．
∴平行四边形CBED是菱形．（8分）

点评：本题考查了反比例函数综合题．解答此题时，利用了反比例函数图象上点的坐标特征．