Question

如图，已知直线AB与x轴、y轴分别交于A和B，OA=4，且OA、OB长是关于x的方程x²-mx+12=0的两实根，以OB为直径的⊙M与AB交于C，连接CM并延长交x轴于N．
（1）求⊙M的半径．
（2）求线段AC的长．
（3）若D为OA的中点，求证：CD是⊙M的切线．

Answer 1

分析：（1）由OA、OB长是关于x的方程x²-mx+12=0的两实根，得OA•OB=12，而OA=4，所以OB=3，又由于OB为⊙M的直径，即可得到⊙M的半径．
（2）连接OC，根据OB是⊙M直径，得到OC⊥BC，利用面积相等得到OC•AB=OA•OB可以求得OC的长，然后利用勾股定理求得AC的长即可．
（3）连MD，OC，由OB为⊙M的直径，得∠OCB=90°，则∠OCD=90°，由于D为OA的中点，所以CD=

1

2

OA=OD，因此可证明△MCD≌△MOD，所以∠MCD=∠MOD=90°，即CD是⊙M的切线．

解答：解：（1）∵OA=4∴A（4，0）
又OA•OB长是x²-mx+12=0的两根
∴OA•OB=12∴OB=3   故B（0，3）（2分）
∵OB为直径
∴半径MB=

3

2

       （4分）

（2）连接OC
∵OB是⊙M直径
∴OC⊥BC                    （5分）
∴OC•AB=OA•OB
∵AB=

42+32

=5            （6分）
∴OC•5=3•4
∴OC=

12

5

                    （7分）
∴AC=

42-( 12 5 )2

=

16

5

    （8分）

（3）∵OM=MC∴∠MOC=∠MCO   （9分）
又CD是Rt△OCA斜边上中线
∴DC=DO
∴∠DOC=∠DCO                （10分）
∵∠DOC+∠MOC=90°
∴∠MCO+∠DCO=90°
∴DC⊥MC                       （11分）
∴CD是⊙M的切线               （12分）
（注：由于解法不一，可以视方法的异同与合理性分步计分）

点评：本题考查的难点是圆的切线的判定方法．经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．当已知直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要连接圆心和这个点，证明这个连线与已知直线垂直即可；当没告诉直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径．同时考查了直径所对的圆周角为90度，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形全等的判定和性质．