Question

如图，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.

(1) 求证：DE－BF = EF．
(2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系， 并说明理由．
(3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．

Answer 1

（1）通过三角形全等进而求证（2）DE－BF = AF－AE = EF

试题分析：(1) 证明:

∵ 四边形ABCD是正方形, BF⊥AG , DE⊥AG
∴ DA=AB， ∠BAF + ∠DAE = ∠DAE + ∠ADE = 90°
∴ ∠BAF = ∠ADE        ∴ △ABF ≌ △DAE     
∴ BF = AE , AF = DE  
∴ DE－BF = AF－AE = EF   3分
（2）EF = 2FG      理由如下：
∵ AB⊥BC , BF⊥AG , AB =2 BG
∴ △AFB ∽△BFG ∽△ABG   
∴  ∴ AF = 2BF , BF =" 2" FG  
由(1)知, AE = BF，∴ EF = BF =" 2" FG    8分
(3) DE + BF = EF            
点评：解答本题的的关键是熟练掌握有两组角对应相等的两个三角形相似；两组边对应成比例且夹角相等的三角形相似.