Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AB=6，∠CAB=30°

（1）求∠ADC的度数；
（2）如果OE⊥AC，垂足为E，求OE的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵AB=6，BC=3，

∴cosB= = ，

∴∠B=60°，

∴∠ADC=60°

（2）解：∵OE⊥AC，

∴AE=CE，

∴OE为△ABC的中位线，

∵AB=6，∠CAB=30°，

∴BC=3

∴OE= BC=

【解析】（1）由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理的推论得到∠ACB=90°，在Rt△ABC中，理由∠B的余弦可求出∠B=60°，然后根据圆周角定理得到∠ADC=60°；（2）由于OE⊥AC，根据垂径定理得到AE=CE，则OE为△ABC的中位线，所以OE= BC= ．
【考点精析】利用勾股定理的概念和垂径定理对题目进行判断即可得到答案，需要熟知直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．