Question

【题目】如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D恰好落在对角线AC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN，
（1）求证：△ADN≌△CBM；
（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形；四边形MFNE是菱形吗？请说明理由；
（3）点P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连接PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN，且AB=4cm，BC=3cm，求PC的长度．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由折叠的性质得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠BCA，

∴∠DAN=∠BCM，

在Rt△ADN和Rt△CBM中，

∵ ，

∴△ADN≌△CBM

（2）解：连接NE、MF，

∵△ADN≌△CBM，

∴NF=ME，

∵∠NFE=∠MEF，

∴NF∥ME，

∴四边形MFNE是平行四边形，

∵MN与EF不垂直，

∴四边形MFNE不是菱形

（3）解：设AC与MN的交点为O，EF=x，作QG⊥PC于G点，

∵AB=4，BC=3，

∴AC=5，

∵AF=CE=BC=3，

∴2AF﹣EF=AC，即6﹣x=5，

解得x=1，

∴EF=1，

∴CF=2，

在Rt△CFN中，tan∠NCF= ，

解得NF= ，

∵OE=OF= EF= ，

∴在Rt△NFO中，ON2=OF2+NF2，

∴ON= ，

∴MN=2ON= ，

∵PQ∥MN，PN∥MQ，

∴四边形MQPN是平行四边形，

∴MN=PQ= ，

∵PQ=CQ，

∴△PQC是等腰三角形，

∴PG=CG，

在Rt△QPG中，

PG2=PQ2﹣QG2，即PG= =1，

∴PC=2PG=2．

【解析】（1）根据折叠的性质得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，从而根据AD∥BC可得出∠DAN=∠BCM，从而即可判断出△ADN≌△CBM．（2）连接NE、MF，根据（1）的结论可得出NF=ME，再由∠NFE=∠MEF可判断出NF∥ME，在直角三角形NFE中，NE为斜边，NF为直角边，可判断四边形MFNE不是菱形．（3）设AC与MN的交点为O，EF=x，作QG⊥PC于G点，首先求出AC=5，根据翻折变换知：AF=CE=3，于是可得AF+（CE﹣EF）=5，可得EF=1，在Rt△CFN中，NF=tan∠NCFCF，在Rt△NFE中，NO2=NF2+OF2 ， 求出NO的长，即NM=PQ=QC=2NO，PC=2 ．
【考点精析】关于本题考查的平行四边形的判定和菱形的判定方法，需要了解两组对边分别平行的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形才能得出正确答案．