Question

如图，已知以Rt△ABC的直角边AB为直径做圆O，与斜边AC交于点D，E为BC边的中点，连接DE.

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接OE、AE，当∠CAB为何值时，四边形AODE是平行四边形，并说明理由；
（3）在(2)的条件下，求sin∠CAE的值.

Answer 1

（1）通过证明∠ODE=90°，OD⊥DE，得DE是⊙O的切线 （2）  当∠CAB=45°时，四边形AODE是平行四边形 （3）     

试题分析：（1）证明：连接OD、BD.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∵∠ADB+∠BDC=180°，∴∠BDC=90°，
∵E为BC边的中点，∴BE=DE=CE=BC
∴∠BDE=∠DBE, ∵OB="BD," ∴∠OBD=∠ODB,
又∵∠ABC=∠OBD+∠DBE=90°，
∴∠ODB+∠BDE=90°,即∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线.         

（2）解：当∠CAB=45°时，四边形AODE是平行四边形.
又∵∠ABC =90°，∴∠CAB=∠C =45°，∴AB=BC.
同理可得BD="CD," ∵∠BDC=90°，E为BC边的中点，
∴DE⊥BC, ∴∠CED=∠ABC =90°, ∴DE∥AB.
又∵DE=BC,OA=AB, ∴DE=OA.
∴四边形AODE是平行四边形.  
（3）过点E作EF⊥AC交AC于点F,设EF=x，则CE=BE=x,BC=AB=2x,
在Rt△ABE中，AE==x
在Rt△AFE中，sin∠CAE===
点评：本题考查直线与圆相切，平行四边形，掌握直线与圆相切的概念和性质，并能判断直线与圆相切，掌握平行四边形的判定方法，会判定一个四边形是平行四边形