Question

【题目】如图所示，抛物线y=ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（﹣2，0），B（﹣1，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A，B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；
（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD=4S△ABM成立，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意可得： ，

解得 ；

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4

（2）

解：由于A、D关于抛物线的对称轴（即y轴）对称，连接BD．

则BD与y轴的交点即为M点；

设直线BD的解析式为：y=kx+b（k≠0），则有：

，

解得 ；

∴直线BD的解析式为y=x﹣2，点M（0，﹣2）

（3）

解：

设BC与y轴的交点为N，则有N（0，﹣3）；

∴MN=1，BN=1，ON=3；

S△ABM=S梯形AONB﹣S△BMN﹣S△AOM= （1+2）×3﹣ ×2×2﹣ ×1×1=2；

∴S△PAD=4S△ABM=8；

由于S△PAD= AD|yp|=8，

即|yp|=4；

当P点纵坐标为4时，x2﹣4=4，

解得x=±2 ，

∴P1（﹣2 ，4），P2（2 ，4）；

当P点纵坐标为﹣4时，x2﹣4=﹣4，

解得x=0，

∴P3（0，﹣4）；

故存在符合条件的P点，且P点坐标为：P1（﹣2 ，4），P2（2 ，4），P3（0，﹣4）．

【解析】（1）将A、B点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出待定系数的值；（2）由于A、D关于抛物线对称轴即y轴对称，那么连接BD，BD与y轴的交点即为所求的M点，可先求出直线BD的解析式，即可得到M点的坐标；（3）设直线BC与y轴的交点为N，那么△ABM的面积即为梯形ABNO、△BMN、△AOM的面积差，由此可求出△ABM和△PAD的面积；在△PAD中，AD的长为定值，可根据其面积求出P点纵坐标的绝对值，然后代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标．
【考点精析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点的相关知识点，需要掌握一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．才能正确解答此题．