Question

【题目】如图，为了保护运河入江口的古桥OA，规划建一座新桥BC，已知，古桥OA与河岸OC垂足，新桥BC与河岸AB垂直，且BC=AB，OC=210m，tan∠BCO= ．

（1）分别求古桥OA与新桥BC的长；
（2）根据规划，建新桥的同时，将对古桥设立一个保护区，要求：
保护区的边界为与BC相切的圆，且圆心M在线段OA上；
古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离不少于140m，设圆形保护区半径为R．OM=xm．
①试求半径R与x的关系式；
②试探究：当x多长时，圆形保护区的面积最大？并求出最大面积时R的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，过B作BH⊥OC，垂足为H，

由tan∠BCO= ，设BH=4x，则CH=3x，BC=5x，

又∵AB⊥BC知，即∠ABH+∠CBH=90°，

又∠BCH+∠CBH=90°，

∴∠ABH=∠BCH，

再过A作AG⊥BH，垂足为G，则∠AGB=∠BHC=90°，

∵AB=BC，

∴△ABG≌△BCH（AAS），

∴BG=CH=3x，AG=BH=4x，

则OH=4x，OA=HG=x，

又OC=210m，即7x=210，x=30，

5x=150，

故古桥OA的长为30m，新桥BC的长的长为150m

（2）解：如图2所示，

因为OM=xm，故AM=（30﹣x）m，

过M作MN⊥BC，分别交BC、BH于N、P，

则MN即为保护区半径R，且MP=AB=150，BP=MA=30﹣x

Rt△BHC∽Rt△BNP， ，则 ，PN=18﹣ x

①半径R=MN=MP+PN=150+18﹣ x=168﹣ x

即R=160﹣ x（0≤x≤30）

②由题意得：R﹣OM≥140，即（168﹣ x）﹣x≥140，解得x≤

又R﹣AM≥140，即（168﹣ x）﹣（30﹣x）≥140，解得x≥5

故有：5≤x≤

因为，要使圆面积最大，其半径R最大，而R最大也就是x要取最小值，

故当x=5时，圆面积最大，此时半径为R的值为165m．

【解析】（1）利用正切的比设出BH=4x，CH=3x，则BC=5x，作辅助线构建直角三角形证△ABG≌△BCH，利用等量关系列方程求出x的值，从而求出古桥OA与新桥BC的长；（2）过M作MN⊥BC，构建直角△BNP，证明Rt△BHC∽Rt△BNP，得比例式表示出PN和半径R的长，根据已知古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离不少于140m和三角形的三边关系得出不等式组，求出x的取值，最后得出结论．