题目内容
【题目】如图,为了保护运河入江口的古桥OA,规划建一座新桥BC,已知,古桥OA与河岸OC垂足,新桥BC与河岸AB垂直,且BC=AB,OC=210m,tan∠BCO= .
(1)分别求古桥OA与新桥BC的长;
(2)根据规划,建新桥的同时,将对古桥设立一个保护区,要求:
保护区的边界为与BC相切的圆,且圆心M在线段OA上;
古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离不少于140m,设圆形保护区半径为R.OM=xm.
①试求半径R与x的关系式;
②试探究:当x多长时,圆形保护区的面积最大?并求出最大面积时R的值.
【答案】
(1)解:如图1,过B作BH⊥OC,垂足为H,
由tan∠BCO= ,设BH=4x,则CH=3x,BC=5x,
又∵AB⊥BC知,即∠ABH+∠CBH=90°,
又∠BCH+∠CBH=90°,
∴∠ABH=∠BCH,
再过A作AG⊥BH,垂足为G,则∠AGB=∠BHC=90°,
∵AB=BC,
∴△ABG≌△BCH(AAS),
∴BG=CH=3x,AG=BH=4x,
则OH=4x,OA=HG=x,
又OC=210m,即7x=210,x=30,
5x=150,
故古桥OA的长为30m,新桥BC的长的长为150m
(2)解:如图2所示,
因为OM=xm,故AM=(30﹣x)m,
过M作MN⊥BC,分别交BC、BH于N、P,
则MN即为保护区半径R,且MP=AB=150,BP=MA=30﹣x
Rt△BHC∽Rt△BNP, ,则 ,PN=18﹣ x
①半径R=MN=MP+PN=150+18﹣ x=168﹣ x
即R=160﹣ x(0≤x≤30)
②由题意得:R﹣OM≥140,即(168﹣ x)﹣x≥140,解得x≤
又R﹣AM≥140,即(168﹣ x)﹣(30﹣x)≥140,解得x≥5
故有:5≤x≤
因为,要使圆面积最大,其半径R最大,而R最大也就是x要取最小值,
故当x=5时,圆面积最大,此时半径为R的值为165m.
【解析】(1)利用正切的比设出BH=4x,CH=3x,则BC=5x,作辅助线构建直角三角形证△ABG≌△BCH,利用等量关系列方程求出x的值,从而求出古桥OA与新桥BC的长;(2)过M作MN⊥BC,构建直角△BNP,证明Rt△BHC∽Rt△BNP,得比例式表示出PN和半径R的长,根据已知古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离不少于140m和三角形的三边关系得出不等式组,求出x的取值,最后得出结论.
【题目】某校举行全体学生“汉字听写”比赛,每位学生听写汉字39个.随机抽取了部分学生的听写结果,绘制成如下的图表.
组别 | 正常字数x | 人数 |
A | 0≤x<8 | 10 |
B | 8≤x<16 | 15 |
C | 16≤x<24 | 25 |
D | 24≤x<32 | m |
E | 32≤x<40 | n |
根据以上信息完成下列问题:
(1)统计表中的m= , n= , 并补全条形统计图;
(2)扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是;
(3)已知该校共有900名学生,如果听写正确的字的个数少于24个定为不合格,请你估计该校本次听写比赛不合格的学生人数.