题目内容

【题目】如图,为了保护运河入江口的古桥OA,规划建一座新桥BC,已知,古桥OA与河岸OC垂足,新桥BC与河岸AB垂直,且BC=AB,OC=210m,tan∠BCO=

(1)分别求古桥OA与新桥BC的长;
(2)根据规划,建新桥的同时,将对古桥设立一个保护区,要求:
保护区的边界为与BC相切的圆,且圆心M在线段OA上;
古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离不少于140m,设圆形保护区半径为R.OM=xm.
①试求半径R与x的关系式;
②试探究:当x多长时,圆形保护区的面积最大?并求出最大面积时R的值.

【答案】
(1)解:如图1,过B作BH⊥OC,垂足为H,

由tan∠BCO= ,设BH=4x,则CH=3x,BC=5x,

又∵AB⊥BC知,即∠ABH+∠CBH=90°,

又∠BCH+∠CBH=90°,

∴∠ABH=∠BCH,

再过A作AG⊥BH,垂足为G,则∠AGB=∠BHC=90°,

∵AB=BC,

∴△ABG≌△BCH(AAS),

∴BG=CH=3x,AG=BH=4x,

则OH=4x,OA=HG=x,

又OC=210m,即7x=210,x=30,

5x=150,

故古桥OA的长为30m,新桥BC的长的长为150m


(2)解:如图2所示,

因为OM=xm,故AM=(30﹣x)m,

过M作MN⊥BC,分别交BC、BH于N、P,

则MN即为保护区半径R,且MP=AB=150,BP=MA=30﹣x

Rt△BHC∽Rt△BNP, ,则 ,PN=18﹣ x

①半径R=MN=MP+PN=150+18﹣ x=168﹣ x

即R=160﹣ x(0≤x≤30)

②由题意得:R﹣OM≥140,即(168﹣ x)﹣x≥140,解得x≤

又R﹣AM≥140,即(168﹣ x)﹣(30﹣x)≥140,解得x≥5

故有:5≤x≤

因为,要使圆面积最大,其半径R最大,而R最大也就是x要取最小值,

故当x=5时,圆面积最大,此时半径为R的值为165m.


【解析】(1)利用正切的比设出BH=4x,CH=3x,则BC=5x,作辅助线构建直角三角形证△ABG≌△BCH,利用等量关系列方程求出x的值,从而求出古桥OA与新桥BC的长;(2)过M作MN⊥BC,构建直角△BNP,证明Rt△BHC∽Rt△BNP,得比例式表示出PN和半径R的长,根据已知古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离不少于140m和三角形的三边关系得出不等式组,求出x的取值,最后得出结论.

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