Question

【题目】如图，△ABD是边长为3的等边三角形，E，F分别是边AD，AB上的动点，若∠ADC=∠ABC=90°，则△CEF周长的最小值为______．

Answer 1

【答案】6

【解析】如图，因为，所以分别作点C关于AD、AB的对称点M、N，连接MN，MN与AD交于点E，与AB交于点F，连接CE、CF，则此时△CEF的周长最小，

连接AC，交MN于点P，

由作图可知CE=ME、CF=FN，∴△CEF的周长：CE+CF+EF=MN，

∵△ABD是等边三角形，∴AB=AD=3，∠DAB=∠ADB=∠ABD=60°，

∵∠ADC=∠ABC=90°，∴∠CDB=∠CBD=30°，

∴CD=CB，

∵DM=CD，BN=CB，∴CM=2CD=2BC=CN，MN//BD，∴∠M=∠N=∠CDB=30°，

又∵AC=AC，∴△ADC≌△ABC，

∴CD=CB，∠DAC=∠BAC=∠DAB=30°，

∴AC=2CD，∠M=∠DAC，∴AC=CM，

又∵∠ACD=∠MCP，∴△ACD≌△MCP，∴MP=AD=3，∠MPC=∠ADC=90°，

∴MN=2MP=6，

即△CEF周长的最小值是6，

故答案为：6.