题目内容

【题目】1)如图 1O 是等边三角形 ABC 内一点,连接 OAOBOC,且 OA3OB4OC5,将BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到BCD,连接 OD

填空:旋转角为 °线段 OD 的长是 ③∠BDC= °

2)如图 2O ABC 内一点,且ABC90°BA=BC 连接 OAOBOC,将BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到BCD,连接 OD.当 OAOBOC 满足什么条件时,BDC135°?请说明理由.

【答案】(1)①60;②4;③150;(2) ,理由见解析

【解析】

1)根据△ABC是等边三角形可得旋转角为60°,根据旋转可得CD= OA3,△B OD是等边三角形,即可求出OD 的长,再根据勾股定理逆定理求出ODC90°即可求解;

2)先根据BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到BCD可得∠OBD=∠ABC=90°BO=BD,CD=AO,故得到△OBD是等腰直角三角形,DO,再由勾股定理得到△OCD是直角三角形,ODC90°,即OA2+2OB2=OC2,再进行等量替换即可求解

1∵△ABC是等边三角形

BA=BCABC60°

∵将△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到BCD

∠OBD=∠ABC60°

旋转角为60°

∵将△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到BCD

BO= BD

∠OBD=60°

△B OD是等边三角形,

OD = OB=4

③∵△B OD是等边三角形,

BDO=60°

∵将△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到BCD

CD= AO=3

△OCD中,CD=3,OD=4,OC=5

CD2+OD2=OC2

△OCD是直角三角形,∠ODC=90°

BDC=∠BDO+∠ODC=150°

故答案为:①60②4;③150

2)当OA2+2OB2=OC2时,BDC135°

理由如下:

∵将△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到BCD

∠OBD=∠ABC=90°BO=BD,CD=AO

∴△OBD是等腰直角三角形,且BDO45°

DO

CD2+OD2=OC2时,△OCD是直角三角形,ODC90°

即当OA2+2OB2=OC2时,ODC90°BDC135°

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