题目内容
【题目】(1)如图 1,O 是等边三角形 ABC 内一点,连接 OA,OB,OC,且 OA=3,OB=4,OC=5,将△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD,连接 OD.
填空:①旋转角为 °;②线段 OD 的长是 ;③∠BDC= °;
(2)如图 2,O 是△ABC 内一点,且∠ABC=90°,BA=BC. 连接 OA,OB,OC,将△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD,连接 OD.当 OA,OB,OC 满足什么条件时,∠BDC=135°?请说明理由.
【答案】(1)①60;②4;③150;(2) ,理由见解析
【解析】
(1)根据△ABC是等边三角形可得旋转角为60°,根据旋转可得CD= OA=3,△B OD是等边三角形,即可求出OD 的长,再根据勾股定理逆定理求出∠ODC=90°即可求解;
(2)先根据△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD,可得∠OBD=∠ABC=90°,BO=BD,CD=AO,故得到△OBD是等腰直角三角形,DO=,再由勾股定理得到△OCD是直角三角形,∠ODC=90°,即OA2+2OB2=OC2,再进行等量替换即可求解.
(1)①∵△ABC是等边三角形
∴BA=BC,∠ABC=60°
∵将△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD,
∴∠OBD=∠ABC=60°
∴旋转角为60°,
②∵将△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD,
∴BO= BD
∵∠OBD=60°
∴△B OD是等边三角形,
∴OD = OB=4,
③∵△B OD是等边三角形,
∴∠BDO=60°
∵将△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD,
∴CD= AO=3
在△OCD中,CD=3,OD=4,OC=5
∴CD2+OD2=OC2
∴△OCD是直角三角形,∠ODC=90°
∴∠BDC=∠BDO+∠ODC=150°
故答案为:①60;②4;③150;
(2)当OA2+2OB2=OC2时,∠BDC=135°,
理由如下:
∵将△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD,
∴∠OBD=∠ABC=90°,BO=BD,CD=AO
∴△OBD是等腰直角三角形,且∠BDO=45°,
∴DO=
∵CD2+OD2=OC2时,△OCD是直角三角形,∠ODC=90°,
即当OA2+2OB2=OC2时,∠ODC=90°,∠BDC=135°.