题目内容

(本小题满分12分)如图,四边形OABC为直角梯形,A(4,0),B(3,4),C(0,4).点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动;点N从B同时出发,以每秒1个单位长度的速度向C运动.其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.过点N作NP垂直x轴于点P,连接AC交NP于Q,连接MQ.

(1)点     (填M或N)能到达终点;
(2)求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,当t为何值时,S的值最大;
(3)是否存在点M,使得△AQM为直角三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.

(1)M;(2),当时,S的值最大;(3)存在,点M的坐标为(1,0)或(2,0),理由见试题解析.

解析试题分析:(1)(BC÷点N的运动速度)与(OA÷点M的运动速度)可知点M能到达终点.
(2)经过t秒时可得NB=y,OM﹣2t.根据∠BCA=∠MAQ=45°推出QN=CN,PQ的值.求出S与t的函数关系式后根据t的值求出S的最大值.
(3)本题分两种情况讨论(若∠AQM=90°,PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高;若∠QMA=90°,QM与QP重合)求出t值.
试题解析:(1)点M.
(2)经过秒时,NB=,OM=,则CN=,AM=,∵A(4,0),C(0,4),∴AO=CO=4,∵∠AOC=90°,∴∠BCA=∠MAQ=45°,∴QN=CN=,∴PQ=
∴S△AMQ=AM•PQ==.∴,∴,∵,∴当时,S的值最大.
(3)存在.
设经过秒时,NB=,OM=,则CN=,AM=,∴∠BCA=∠MAQ=45°.
①若∠AQM=90°,则PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高,∴PQ是底边MA的中线,∴PQ=AP=MA,
,∴,∴点M的坐标为(1,0).
②若∠QMA=90°,此时QM与QP重合,∴QM=QP=MA,∴,解得:,∴点M的坐标为(2,0).

考点:二次函数综合题.

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