题目内容
【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，它的对称轴与x轴交于点F，过点C作CE∥x轴交抛物线于另一点E，连结EF，AC．
（1）求该抛物线的表达式及点E的坐标；
（2）在线段EF上任取点P，连结OP，作点F关于直线OP的对称点G，连结EG和PG，当点G恰好落到y轴上时，求△EGP的面积．
【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，E（2，3）；（2）1.
【解析】
（1）用待定系数法即可求得抛物线的表达式，根据点E与点C是对称点即可得到E点坐标；
（2）连接FG，过P作PM⊥x轴于M，过E作EN⊥x轴于N，则PM∥EN，易得△CEG与△OFG为等腰直角三角形，则∠EGF=90°，易得EF的解析式为：y=3x﹣3，△POM是等腰直角三角形，可求得P（
，），即点P为EF的中点，则S△EGP=
S△EGF，再根据三角形的面积公式求解即可.
（1）把A（﹣1，0），C（0，3）两点代入抛物线y=﹣x2+bx+c中得：
，
解得：
，
∴该抛物线的表达式为：y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴是：x=1，
∵CE∥x轴，
∴点C与点E是对称点，
∴E（2，3）；
（2）
连接FG，过P作PM⊥x轴于M，过E作EN⊥x轴于N，则PM∥EN，
∵F与G关于OP对称，且G在y轴上，
∴OF=OG=1，
∴FG=
，∠OGF=45°，
∵OC=3，
∴CG=3﹣1=2=CE，
∴△ECG是等腰直角三角形，
∴EG=2，∠CGE=45°，
∴∠EGF=90°，
∵E（2，3），F（1，0），
易得EF的解析式为：y=3x﹣3，
设P（x，3x﹣3），
∵∠POM=45°，
∴△POM是等腰直角三角形，
∴PM=OM，即x=3x﹣3，
解得：x=，
∴P（，），
∴FM=MN=，
∵PM∥EN，
∴FP=EP，
∴S△EGP=S△EGF=
=1.
