Question

【题目】在△ABC中，AB＝AC，点D是射线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．

（1）若∠BAC＝90°．

①如图1，当点D在线段BC上时，∠BCE＝　 　°；

②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立？请说明理由；

（2）若∠BAC＝75°，点D在射线BC上，∠BCE＝　 　°；

（3）若点D在直线BC上移动，其他条件不变．设∠BAC＝α，∠BCE＝β，α与β有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

Answer 1

【答案】（1）①90°；②结论仍然成立，理由见解析；（2）105；（3）点D在直线BC上移动，α+β＝180°或α＝β，理由见解析

【解析】

（1）①由等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABC＝∠ACE＝45°，可求∠BCE的度数；
②由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABC＝∠ACE＝45°，可求∠BCE的度数；
（2）分两种情况讨论，由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论；
（3）分三种情况讨论，由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论．

（1）①∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，

∵∠DAE＝∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS）

∴∠ABC＝∠ACE＝45°，

∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，

故答案为：90°；

②结论仍然成立，

理由如下：

∵∠DAE＝∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS）

∴∠ABC＝∠ACE＝45°，

∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，

（2）如图③，点D在线段BC上时，

∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD＝∠ACE，

在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，

∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝∠BAC+∠BCE＝180°，

即：∠BCE＝180°﹣∠BAC＝105°，

如图④，若点D在BC的延长线上时，连接CE，

∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD＝∠ACE，

在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，

∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝∠BAC+∠BCE＝180°，

即：∠BCE＝180°﹣∠BAC＝105°，

综上所述：点D在射线BC上，∠BCE＝105°，

故答案为：105°；

（3）由（2）可知：若点D在线段BC上或点D在BC的延长线上时，∠BAC+∠BCE＝180°，

∴α+β＝180°，

如图⑤，当点D在CB的延长线时，连接BE，

∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD＝∠ACE，

∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB+∠BCE，

∴∠ABD+∠ABC＝∠ACE+∠ABC＝∠ACB+∠BCE+∠ABC＝180°，

∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，

∴∠BAC＝∠BCE．

∴α＝β；

综上所述：点D在直线BC上移动，α+β＝180°或α＝β．