题目内容
【题目】如图所示，点O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝100°，∠BOC＝α，D是△ABC外一点，且△ADC≌△BOC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，判断△AOD的形状,并说明理由。
（3）探究：当α=_____度时，△AOD是等腰三角形。
【答案】（1）见解析 （2）直角三角形，见解析 （3）100或130或160
【解析】
（1）根据全等三角形的性质得到∠OCB＝∠DCA，CO＝CD，证明∠DCA＋∠ACO＝60°，根据等边三角形的判定定理证明；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ADC＝∠BOC＝150°，结合图形计算即可；
（3）分AD＝AO、DA＝DO、OD＝AO三种情况，根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理计算．
（1）证明：∵△ADC≌△BOC，
∴∠OCB＝∠DCA，CO＝CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，即∠OCB＋∠ACO＝60°，
∴∠DCA＋∠ACO＝60°，又CO＝CD，
∴△COD是等边三角形；
（2）解：∵△ADC≌△BOC，
∴∠ADC＝∠BOC＝150°，
∵△COD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝∠ADC∠ODC＝90°，
∠AOD＝360°100°150°60°＝50°，
∴∠OAD＝40°，
△AOD是直角三角形；
（3）解：当AD＝AO时，设∠AOD＝∠ADO＝x，
则∠ADC＝∠ADO＋∠ODC＝x＋60°，
∴∠BOC＝x＋60°，
则100°＋x＋60°＋x＋60°＝360°，
解得，x＝70°，
则α＝60°＋70°＝130°，
当DA＝DO时，设∠AOD＝∠DAO＝x，
则∠ADO＝180°2x，
∴∠ADC＝∠ADO＋∠ODC＝180°2x＋60°，
∴∠BOC＝240°2x，
则100°＋240°2x＋x＋60°＝360°，
解得，x＝40°，
则α＝240°2x＝160°，
当OD＝AO时，设∠OAD＝∠ADO＝x，
则∠ADC＝∠ADO＋∠ODC＝x＋60°，
∴∠BOC＝x＋60°，
则100°＋x＋60°＋180°2x＋60°＝360°，
解得，x＝40°，
则α＝60°＋40°＝100°，
综上所述，当α为100°或130°或160°时，△AOD是等腰三角形．
