Question

【题目】已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）将该抛物线向左平移　 　个单位长度后，可使平移后的抛物线的顶点落在直线y＝﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式：　 　；

（3）观察图象，写出关于x的不等式ax2+bx+c+3＞0的解集　 　．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3，顶点坐标（2，1）；（2）3， y＝﹣（x+1）2+1；（3）0＜x＜4．

【解析】

（1）利用交点式得出y＝a（x﹣1）（x﹣3），进而得出a的值，再利用配方法求出顶点坐标即可；

（2）根据左加右减得出抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+1，进而得出答案；

（3）先得到C点关于对称轴的对称点，进一步得到关于x的不等式ax2+bx+c+3＞0的解集．

（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），

可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），

把C（0，﹣3）代入得：3a＝﹣3，

解得：a＝﹣1，

故抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），

即y＝﹣x2+4x﹣3，

∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，

∴顶点坐标（2，1）；

（2）向左平移2﹣（﹣1）＝3个单位，平移后抛物线的顶点为（﹣1，1）落在直线y＝﹣x上，得到的抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+1；

（3）C点关于对称轴的对称点是（4，﹣3），关于x的不等式ax2+bx+c+3＞0的解集为0＜x＜4．

故答案为：3， y＝﹣（x+1）2+1；0＜x＜4．