题目内容

【题目】如图,AB是⊙O的直径,AT是经过点A的切线,弦CD垂直ABP点,Q为线段CP的中点,连接BQ并延长交切线ATT点,连接OT

(1)求证:BCOT

(2)若⊙O直径为10,CD=8,求AT的长;

(3)延长TO交直线CDR,若⊙O直径为10,CD=8,求TR的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)10;(3)8

【解析】试题分析:(1)此题要通过构造相似三角形求解,由于PCD的中点,由垂径定理知CDAB有切线的性质可得:ATAB,由此可证得ATCDPB的中点E又因为等量代换后可证得由此可得△TAO∽△QPE根据相似三角形所得的等角,可证得OTQE,QE的中位线,则 QEBC根据平行线的传递性即可证得BCOT
(2)(3)题可利用△TAO∽△CPB求出ATOT的值,再利用△AOT∽△POR求出OR的值,从而解决问题.

试题解析:(1)证明:取PB的中点E,连接QE,

QPC的中点,EPB的中点,

QE为△PBC的中位线,QEBC,

AT为经过A点的切线,AB为直径,

ATAB,

CDABATCDTAOQPE=90°,

∴△BPQ∽△BAT

PB=2PEAB=2AO

∴△TAO∽△QPE∴∠AOTPEQ,

OTQE,

QEBCBCOT .

(2)CDABAB为直径,CD=8,

CPPD=4,

连接OC,

RtOCP中,∵PC=4,

OP=3,PBOBOP=2,

BCOT∴△TAO∽△CPB

AT=10,

(3)解:在RtTAO中,

ATCR∴△AOT∽△POR,

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