题目内容
【题目】如图,AB是⊙O的直径,AT是经过点A的切线,弦CD垂直AB于P点,Q为线段CP的中点,连接BQ并延长交切线AT于T点,连接OT.
(1)求证:BC∥OT;
(2)若⊙O直径为10,CD=8,求AT的长;
(3)延长TO交直线CD于R,若⊙O直径为10,CD=8,求TR的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)10;(3)8
【解析】试题分析:(1)此题要通过构造相似三角形求解,由于P是CD的中点,由垂径定理知CD⊥AB,有切线的性质可得:AT⊥AB,由此可证得AT∥CD,得取PB的中点E,则
又因为
等量代换后可证得
由此可得△TAO∽△QPE,根据相似三角形所得的等角,可证得OT∥QE,而QE是
的中位线,则 QE∥BC,根据平行线的传递性即可证得BC∥OT.
(2)(3)题可利用△TAO∽△CPB,求出AT和OT的值,再利用△AOT∽△POR求出OR的值,从而解决问题.
试题解析:(1)证明:取PB的中点E,连接QE,
∵Q是PC的中点,E是PB的中点,
∴QE为△PBC的中位线,QE∥BC,
∵AT为经过A点的切线,AB为直径,
∴AT⊥AB,
∵CD⊥AB,∴AT∥CD,∠TAO=∠QPE=90°,
∴△BPQ∽△BAT,
∵PB=2PE,AB=2AO,
∴△TAO∽△QPE,∴∠AOT=∠PEQ,
∴OT∥QE,
∵QE∥BC,∴BC∥OT .
(2)∵CD⊥AB,AB为直径,CD=8,
∴CP=PD=4,
连接OC,
在Rt△OCP中,∵PC=4,
∴OP=3,∴PB=OB-OP=2,
BC∥OT,∴△TAO∽△CPB,
∵
∴AT=10,
(3)解:在Rt△TAO中,
∵AT∥CR,∴△AOT∽△POR,
∴
∴

【题目】先阅读下面的材料,再解答后面的各题:
现代社会对保密要求越来越高,密码正在成为人们生活的一部分.有一种密码的明文(真实文)按计算机键盘字母排列分解,其中Q,W,E,……,N,M这26个字母依次对应1,2,3,……,25,26这26个自然数(见下表).
Q | W | E | R | T | Y | U | I | O | P | A | S | D |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
F | G | H | J | K | L | Z | X | C | V | B | N | M |
14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |
给出一个变换公式:
将明文转成密文,如:,即R变为L;
,即A变为S.
将密文转换成明文,如:,即X变为P;13
3×(13-8)-1=14,即D变为F.
(1)按上述方法将明文NET译为密文.
(2)若按上方法将明文译成的密文为DWN,请找出它的明文.