题目内容
已知,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(-5,0)和点B,其中点B在第一象限,且OA=OB,cot∠BAO=2.
(1)求点B的坐标;
(2)求二次函数的解析式;
(3)过点B作直线BC平行于x轴,直线BC与二次函数图象的另一个交点为C,联结AC,如果点P在x轴上,且△ABC和△PAB相似,求点P的坐标.
(1)求点B的坐标;
(2)求二次函数的解析式;
(3)过点B作直线BC平行于x轴,直线BC与二次函数图象的另一个交点为C,联结AC,如果点P在x轴上,且△ABC和△PAB相似,求点P的坐标.
(1)过点B作BD⊥x轴,垂足为点D,如图,
在Rt△ADB中,∠ADB=90°,cot∠BAO=
=2,
设BD=x,AD=2x,
∵OA=0B=5,
∴OD=2x-5,
在Rt△ODB中,∵OD2+BD2=OB2,
∴(2x-5)2+x2=52,
解得x1=4,x2=0(不合题意,舍去),
∴BD=4,OD=3,
∴点B的坐标是(3,4),
(2)根据题意得
,
解这个方程组,得
,
∴二次函数的解析式是y=
x2+
x;
(3)∵直线BC平行于x轴,
∴C点的纵坐标为4,
设C点的坐标为(m,4).
由题意得
m2+
m=4,解得m1=3(不合题意,舍去),m2=-8,
∴C点的坐标为(-8,4),BC=11,AB=4
.…(1分)
∵∠ABC=∠BAP,
①如果△ABC∽△BAP,那么
=
,
∴AP=11,点P的坐标为(6,0),
②如果△ABC∽△PAB,那么
=
,
∴AP=
,点P的坐标为(
,0),
综上所述,点P的坐标为(6,0)或(
,0).
在Rt△ADB中,∠ADB=90°,cot∠BAO=
AD |
BD |
设BD=x,AD=2x,
∵OA=0B=5,
∴OD=2x-5,
在Rt△ODB中,∵OD2+BD2=OB2,
∴(2x-5)2+x2=52,
解得x1=4,x2=0(不合题意,舍去),
∴BD=4,OD=3,
∴点B的坐标是(3,4),
(2)根据题意得
|
解这个方程组,得
|
∴二次函数的解析式是y=
1 |
6 |
5 |
6 |
(3)∵直线BC平行于x轴,
∴C点的纵坐标为4,
设C点的坐标为(m,4).
由题意得
1 |
6 |
5 |
6 |
∴C点的坐标为(-8,4),BC=11,AB=4
5 |
∵∠ABC=∠BAP,
①如果△ABC∽△BAP,那么
AB |
BC |
AB |
AP |
∴AP=11,点P的坐标为(6,0),
②如果△ABC∽△PAB,那么
AB |
BC |
AP |
AB |
∴AP=
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25 |
11 |
综上所述,点P的坐标为(6,0)或(
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