Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B，C是坐标轴上的定点，平移线段AB得到线段CD，使点A与点C对应，点B与点D对应．
（1）画出线段CD，并写出画法；
（2）点P是x轴上的动点（不与点B，C重合），设∠PAC=α，∠PBD=β，∠APB=θ．
①当点P在线段BC上时，求证：θ=α+β；
②当点P在线段CB（BC）的延长线上时，①中的结论是否成立？并说明理由．

Answer 1

考点：作图-平移变换,平行线的性质

专题：

分析：（1）连结AC，过点B画AC的平行线l，在l上截取BD=AC连结CD即可；
（2）①过点P画PE∥AC，利用平行线的性质以及三角形外角的性质得出即可；
②过点P画PE∥AC，利用平行线的性质以及三角形外角的性质得出即可．

解答：解：（1）如图1，连结AC，
过点B画AC的平行线l，在l上截取BD=AC，
连结CD，则CD即为所求线段；

（2）①如图1，过点P画PE∥AC，
∵AC∥BD，
∴PE∥BD，
∴∠APE=∠PAC，∠EPB=∠PBD，
∴∠APB=∠APE+∠EPB=∠PAC+∠PBD．
即θ=α+β；

②如图2，不成立．
当点P在线段CB（BC）的延长线上时，
∠APB=∠EPA-∠EPB=∠PBD-∠PAC，即θ=β-α．

点评：此题主要考查了平移变换以及平行线的性质和三角形的外交等知识，正确得出平行线PE是解题关键．