Question

如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．
（1）求证：△ACE≌△ABD；
（2）若AC=2，EC=4，DC=2

2

．求∠ACD的度数；
（3）在（2）的条件下，直接写出DE的长为______．（只填结果，不用写出计算过程）

Answer 1

（1）∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠EAC=∠BAD．
∵在△ACE和△ABD中

AE=AD ∠EAC=∠DAB AC=AB

，
∴△ACE≌△ABD（SAS）；

（2）∵△ACE≌△ABD（SAS），
∴DB=EC=4，
在Rt△ABC中，
AB²+AC²=BC²，
∴BC²=2²+2²=8
在△DBC中，
BC²+DC²=8+8=16=4²=BD²
∴∠DCB=90°
∴∠ACD=90°+45°=135°；

（3）∵BC²=8，DC²=8
∴BC=DC．
∵∠DCB=90°，
∴∠DBC=45°．
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD=90°．
在Rt△ABD中由勾股定理，得
AD=

4+16

=2

5

．
在Rt△AED中由勾股定理，得
ED=

20+20

=2

10

．
故答案为：2

10

．