Question

已知关于x的方程x²-6x+（a-2）|x-3|+9-2a=0有且仅有两个不相等的实根，则实数a的取值范围为（　　）

• A、a=-2
• B、a＞0
• C、a=-2或a＞0
• D、a≤-2或a＞0

Answer 1

考点：根的判别式

专题：

分析：将原方程变形为|x-3|²+（a-2）|x-3|-2a=0，求出方程的△，分为两种情况，△=0，△＞0，代入后求出a的范围即可．

解答：解：x²-6x+（a-2）|x-3|+9-2a=0，
（x-3）²+（a-2）|x-3|-2a=0，这是一个关于|x-3|的一元二次方程，
∵原方程有且仅有两个不相等的实根，
∴|x-3|只有一个大于0的实数根（因为当|x-3|＜0，无解；当|x-3|=0，有1个解；当|x-3|＞0，有2个解），
△=（a-2）²-4（-2a）=（a+2）²，
①当△=0时，|x-3|有唯一解；
△=0，
a=-2；
此时原方程为|x-3|²-4|x-3|+4=0，
|x-3|=2，
x=5，x=1；
②|x-3|的一个根大于0，另一个根小于0，
△＞0，
a≠-2，
x₁•x₂＜0，
根据根与系数的关系得：-2a＜0，
a＞0，
综合上述，a的取值分、范围是a＞0或者a=-2，
故选C．

点评：本题考查了根的判别式和根与系数关系的应用，注意：一元二次方程ax²+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），①当b²-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，③当b²-4ac＜0时，方程没有实数根．