题目内容
【题目】已知点
在
轴正半轴上，以
为边作等边
，
，其中是方程
的解．
（1）求点的坐标．
（2）如图1，点
在
轴正半轴上，以
为边在第一象限内作等边
，连
并延长交轴于点
，求
的度数．
（3）如图2，若点
为轴正半轴上一动点，点在点的右边，连
，以为边在第一象限内作等边
，连
并延长交轴于点
，当点运动时，
的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化的范围．
【答案】（1）
；（2）
；（3）不变化，
．
【解析】
（1）先将分式方程去分母化为整式方程，再求解整式方程，最后检验解是原分式方程的解，即得；
（2）先证明
，进而可得出
，再利用三角形内角和推出
，最后利用邻补角的性质即得
；
（3）先证明
，进而得出
以及
，再根据以上结论以及邻补角对顶角的性质推出
，最后根据
所对直角边是斜边的一半推出
，即得
为定值．
（1）∵
∴方程两边同时乘以
得：
解得：
检验：当时，
∴原分式方程的解为
∴点
的坐标为 ．
（2）∵
、
都为等边三角形
∴
，
，
∴
∴在
与
中
∴
∴
∵在
中，
∴
∵在中，
∴
∴
∴
∵
∴
．
（3）不变化，理由如下：
∵、
都为等边三角形
∴
，
，
∴
∴在
与
中
∴
∴
，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴在
中，
∴
∵A点坐标为
∴
∴
∴
为定值9，不变化．
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