题目内容

【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,CD与⊙O相切于点D,CE⊥AD,交AD的延长线于点E.

(1)求证:∠BDC=∠A;
(2)若CE=2,DE=1,求AD的长.

【答案】
(1)证明:

连接OD,

∵AB是⊙O的直径,

∴∠ADB=90°,

∴∠A+∠DBO=90°,

∵CD切⊙O于D,

∴∠CDO=90°,

∴∠BDC+∠ODB=90°,

∵OD=OB,

∴∠DBO=∠ODB,

∴∠BDC=∠A


(2)解:∵CE⊥AE,

∴∠E=∠ADB=90°,

∴DB∥EC,

∴∠DCE=∠BDC,

∵∠BDC=∠A,

∴∠A=∠DCE,

∵∠E=∠E,

∴△AEC∽△CED,

=

=

∴AE=4,

∴AD=AE﹣DE=4﹣1=3


【解析】(1)出现切线时,常用的辅助线为连接切点和圆心,构造直角,利用余角的性质可证出;(2)利用直径的性质和平行的性质,可证出△AEC∽△CED,对应边成比例求出AE,减去DE,求出AD.
【考点精析】关于本题考查的圆周角定理和切线的性质定理,需要了解顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;切线的性质:1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能得出正确答案.

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