题目内容
【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,CD与⊙O相切于点D,CE⊥AD,交AD的延长线于点E.
(1)求证:∠BDC=∠A;
(2)若CE=2,DE=1,求AD的长.
【答案】
(1)证明:
连接OD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠A+∠DBO=90°,
∵CD切⊙O于D,
∴∠CDO=90°,
∴∠BDC+∠ODB=90°,
∵OD=OB,
∴∠DBO=∠ODB,
∴∠BDC=∠A
(2)解:∵CE⊥AE,
∴∠E=∠ADB=90°,
∴DB∥EC,
∴∠DCE=∠BDC,
∵∠BDC=∠A,
∴∠A=∠DCE,
∵∠E=∠E,
∴△AEC∽△CED,
∴ =
,
∴ =
,
∴AE=4,
∴AD=AE﹣DE=4﹣1=3
【解析】(1)出现切线时,常用的辅助线为连接切点和圆心,构造直角,利用余角的性质可证出;(2)利用直径的性质和平行的性质,可证出△AEC∽△CED,对应边成比例求出AE,减去DE,求出AD.
【考点精析】关于本题考查的圆周角定理和切线的性质定理,需要了解顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;切线的性质:1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能得出正确答案.

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