Question

如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD、等边三角形ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF.

①试说明AC＝EF；
②求证：四边形ADFE是平行四边形．

Answer 1

见解析

本题考查的是全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定
①由△ABE是等边三角形可得AB＝AE，∠BAE＝60°，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，可得∠ABC＝60°
即可得到∠ABC＝∠BAE，再有EF⊥AB，，即可根据AAS证得△ACB≌△EFA，即得结果；
②由△ACD是等边三角形可得AC＝AD，∠DAC＝60°，即可证得AD∥EF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得结果。
①∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE，∠BAE＝60°.
在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABC＝∠BAE.
∵EF⊥AB，
∴∠EFA＝∠ACB＝90°，
∴△ACB≌△EFA(AAS)，
∴AC＝EF.
②∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，∠DAC＝60°.
又∵AD＝EF，∠DAF＝60°＋30°＝90°＝∠EFA.
∴AD∥EF
∴四边形ADFE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．