Question

两块大小不同的含45°角的三角板AOB和三角板COD，直角顶点重合，三角板的两直角边重合（如图1）
（1）连结AC、BD，则AC和BD的①数量关系是AC

 

BD；②位置关系是AC

 

BD（直接写出结果，不必证明）；
（2）将三角板COD绕点O顺时针旋转角度α（0°＜α＜360°），如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，在（2）中，若M、N、P、Q分别是线段CB、AB、AD、CD的中点，请判断四边形MNPQ的形状，并给出证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,三角形中位线定理,正方形的判定

专题：

分析：（1）AC=BD，AC⊥BD．通过全等三角形△AOC≌△BOD的对应边相等证得AC=BD；如图1，延长AC交BD于点E，则∠AOB=∠AEB=90°；
（2）证法同（1）；
（3）由三角形中位线定理和平行四边形的判定定理易证四边形MNPQ为平行四边形；然后利用AC=BD，AC⊥BD得到MN=MQ，且MN⊥MQ，故平行四边形MNPQ是正方形．

解答：AC解：（1）①AC=BD．理由如下：
如图1，
在△AOC与△BOD中，

AO=BO ∠AOC=∠BOD=90° OC=OD

，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD；
②AC⊥BD．理由如下：
如图1，延长AC交BD于点E．
由①知，△AOC≌△BOD，
∴∠CAO=DBO．
又∵∠CAO+∠ACO=90°，∠BCE=∠ACO，
∴∠DBO+∠BCE=90°，
∴∠AEB=90°，即AC⊥BD；
故填：=；⊥；

（2）（1）中的结论都仍然成立．理由如下：
如图2，∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，即∠AOC=∠BOD，
在△AOC与△BOD中，

AO=BO ∠AOC=∠BOD OC=OD

，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD；
如图2，延长AC交BD于点E．
由①知，△AOC≌△BOD，
∴∠CAO=DBO．
又∵∠CAO+∠ACO=90°，∠BCE=∠ACO，
∴∠DBO+∠BCE=90°，
∴∠AEB=90°，即AC⊥BD．
综上所述，AC=BD，AC⊥BD；

（3）四边形MNPQ是正方形．证明如下：
∵如图3，M、N、P、Q分别是线段CB、AB、AD、CD的中点，
∴MN

∥

.

1

2

AC，PQ

∥

.

AC，
∴MN

∥

.

PQ，
∴四边形MNPQ为平行四边形，
同理，MQ

∥

.

BD．
又∵AC=BD，AC⊥BD，
∴MN=MQ，且MN⊥MQ，
∴平行四边形MNPQ为正方形，即四边形MNPQ是正方形．

点评：本题综合考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质以及正方形的判定．正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．