Question

【题目】如图是一块含30°（即∠CAB＝30°）角的三角板和一个量角器拼在一起，三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合，其量角器最外缘的读数是从N点开始（即N点的读数为0），现有射线CP绕着点C从CA顺时针以每秒2度的速度旋转到与△ACB外接圆相切为止．在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于E．

（1）当射线CP与△ABC的外接圆相切时，求射线CP旋转度数是多少？

（2）当射线CP分别经过△ABC的外心、内心时，点E处的读数分别是多少？

（3）当旋转7.5秒时，连接BE，求证：BE＝CE．

Answer 1

【答案】（1）120°；（2）见解析

【解析】

（1）CP过△ABC外心时（即过O点）时，∠BCE＝60°，根据圆周角定理，则点E处的读数是120°；当CP过△ABC的内心时，即CP平分∠ACB，则∠BCE＝45°，根据圆周角定理，则点E处的读数是90°．

（2）由于每次旋转的度数一样，所以旋转x秒后，∠BCE的度数为90°2x，从而得出∠BOE的度数，也即可得出y与x的函数式．

（3）根据已知，知旋转了15°，即可求得∠EBC＝∠BCE＝75°，从而证明结论．

（1）∵∠BCA＝90°，

∴△ABC的外接圆就是量角器所在的圆，

当CP过△ABC外心时（即过O点），

∵∠CAB＝30°，

∴∠BCE＝60°，

∴∠BOE＝120°，即E处的读数为120，

当CP过△ABC的内心时，∠BCE＝45°，∠EOB＝90°，

∴E处的读数为90．

（2）旋转x秒后，∠BCE的度数为902x，∠BOE的度数为180°4x，

故可得y与x的函数式为：y＝180°4x；

（3）在图2中，当旋转7.5秒时，∠PCA＝2×7.5°＝15°，∠ECA＝∠EBA＝15°，

则∠BCE＝75°，

∵∠CAB＝30°，

∴∠ABC＝60°，

∴∠EBC＝∠EBA＋∠ABC＝∠BCE＝75°，

∴BE＝EC．