题目内容

【题目】如图1B2m0),C3m0)是平面直角坐标系中两点,其中m为常数,且m0E0n)为y轴上一动点,以BC为边在x轴上方作矩形ABCD,使AB=2BC,画射线OA,把ADC绕点C逆时针旋转90°A′D′C′,连接ED′,抛物线)过EA′两点.

1)填空:∠AOB= °,用m表示点A′的坐标:A′ );

2)当抛物线的顶点为A′,抛物线与线段AB交于点P,且时,D′OEABC是否相似?说明理由;

3)若E与原点O重合,抛物线与射线OA的另一个交点为点M,过MMN⊥y轴,垂足为N

abm满足的关系式;

m为定值,抛物线与四边形ABCD有公共点,线段MN的最大值为10,请你探究a的取值范围.

【答案】145;(m﹣m);(2)相似;(3

【解析】试题(1)由BC的坐标求出OBOC的长,进一步表示出BC的长,再证三角形AOB为等腰直角三角形,即可求出所求角的度数;由旋转的性质得,即可确定出A′坐标;

2D′OE∽△ABC.表示出AB的坐标,由,表示出P坐标,由抛物线的顶点为A′,表示出抛物线解析式,把点E坐标代入即可得到mn的关系式,利用三角形相似即可得证;

3E与原点重合时,把AE坐标代入,整理即可得到abm的关系式;

抛物线与四边形ABCD有公共点,可得出抛物线过点C时的开口最大,过点A时的开口最小,分两种情况考虑:若抛物线过点C3m0),此时MN的最大值为10,求出此时a的值;若抛物线过点A2m2m),求出此时a的值,即可确定出抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围.

试题解析:(1∵B2m0),C3m0),∴OB=2mOC=3m,即BC=m∵AB=2BC∴AB=2m=0B∵∠ABO=90°∴△ABO为等腰直角三角形,∴∠AOB=45°,由旋转的性质得:OD′=D′A′=m,即A′m﹣m);故答案为:45m﹣m

2D′OE∽△ABC,理由如下:由已知得:A2m2m),B2m0),P2mm),A′为抛物线的顶点,设抛物线解析式为抛物线过点E0n),,即m=2nOEOD′=BCAB=12∵∠EOD′=ABC=90°∴△D′OE∽△ABC

3当点E与点O重合时,E00),抛物线过点EA,整理得: ,即

②∵抛物线与四边形ABCD有公共点,抛物线过点C时的开口最大,过点A时的开口最小,若抛物线过点C3m0),此时MN的最大值为10a3m2﹣1+am3m=0,整理得:am=span>,即抛物线解析式为,由A2m2m),可得直线OA解析式为y=x,联立抛物线与直线OA解析式得: ,解得:x=5my=5m,即M5m5m),令5m=10,即m=2,当m=2时,a=

若抛物线过点A2m2m),则,解得:am=2m=2a=1,则抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围为

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