题目内容
【题目】如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过A（﹣1，0），B两点，且与y轴交于点C（0，3），抛物线与直线y＝﹣x﹣1交于A，E两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）坐标轴上是否存在一点Q，使得△AQE是以AE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
（3）P点在x轴上且位于点B的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与△ABE相似，求点P的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）存在；Q1（4，0），Q2（0，﹣4）；（3）（
，0）或（﹣
，0）．
【解析】
（1）将A、C的坐标代入y＝ax2+2x+c求出a、c即可得到解析式；
（2）联立方程组求出E点坐标，分Q在x轴和y轴上两种情况讨论，分别根据QA2＝QE2求出坐标即可；
（3）过点E作EH⊥x轴于点H，根据点E的坐标，分别求出AH＝EH＝5，AE＝5
，∠BAE＝45°，以及OB＝OC＝3，∠ABC＝45°，AB＝4，BC=3，所以只可能存在△PBC∽△BAE和△PBC∽△EAB两种情况，利用相似三角形对应边成比例即可求得点P的坐标．
解：（1）将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c，
得
，
解得，
，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
故答案为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）存在．
联立
，
解得，
或
，
∴E（4，﹣5），
如图1，当点Q在x轴上时，设Q（m，0），
∵AE为底边，
∴QA＝QE，
∴QA2＝QE2，
即（m+1）2＝52+（m﹣4）2，
解得，m＝4，
∴Q1（4，0）；
当点Q在y轴上时，设Q（0，n），
∵AE为底边，
∴QA＝QE，
∴QA2＝QE2，
即n2+12＝42+（n+5）2，
解得，n＝﹣4，
∴Q2（0，﹣4），
综上所述，Q1（4，0），Q2（0，﹣4），
故答案为：存在；Q1（4，0），Q2（0，﹣4）
（3）如图2，过点E作EH⊥x轴于点H，
∵A（﹣1，0），E（4，﹣5），
∴AH＝EH＝5，AE＝
＝5，∠BAE＝45°，
又OB＝OC＝3，
∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝
＝3，
设P（t，0），则BP＝3﹣t，
∵∠BAE＝∠ABC＝45°，
∴只可能存在△PBC∽△BAE和△PBC∽△EAB两种情况，
当△PBC∽△BAE时，
，
∴
＝
，
∴t＝，
∴P1（，0）；
当△PBC∽△EAB时，
，
∴＝
，
∴t＝﹣，
∴P2（﹣，0），
综上所述，点P的坐标为（，0）或（﹣，0），
故答案为：（，0）或（﹣，0）．
