题目内容
【题目】CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE_____CF；EF_____|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件_____，使①中的两个结论仍然成立。
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想并给出理由。．
【答案】==∠α+∠BCA=180°
【解析】
（1）①求出∠BEC=∠AFC=90°，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；
②求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；
（2）求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可．
(1)①如图1中，
E点在F点的左侧，
∵BE⊥CD,AF⊥CD,∠ACB=90，
∴∠BEC=∠AFC=90，
∴∠BCE+∠ACF=90,∠CBE+∠BCE=90，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中，
∴△BCE≌△CAF(AAS)，
∴BE=CF，CE=AF，
∴EF=CFCE=BEAF，
当E在F的右侧时，同理可证EF=AFBE，
∴EF=|BEAF|；
故答案为=，=.
②
时，①中两个结论仍然成立；
证明：如图2中，
∵
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中，
∴△BCE≌△CAF(AAS)，
∴BE=CF，CE=AF，
∴EF=CFCE=BEAF，
当E在F的右侧时，同理可证EF=AFBE，
∴EF=|BEAF|；
故答案为
(2)EF=BE+AF.
理由是：如图3中，
∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠a=∠BCA，
又∵
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，
∴∠EBC=∠ACF，
在△BEC和△CFA中，
∴△BEC≌△CFA(AAS)，
∴AF=CE，BE=CF，
∵EF=CE+CF，
∴EF=BE+AF.
