Question

【题目】某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1与O2C、O2D分别切于点A、B，已知∠CO2D=60°，E、F是直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD的两个交点，且EF=24cm，设⊙O1的半径为xcm．
（1）用含x的代数式表示扇形O2CD的半径；
（2）若⊙O1和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm2和0.06元/cm2 ， 当⊙O1的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？

Answer 1

【答案】
（1）解：连接O1A．

∵⊙O1与O2C、O2D分别切一点A、B

∴O1A⊥O2C，O2E平分∠CO2D，

∴∠AO2O1= ∠CO2D=30°，

∴在Rt△O1AO2中，O1O2=2AO1=2x．

∴FO2=EF﹣EO1﹣O1O2=24﹣3x，即扇形O2CD的半径为（24﹣3x）cm

（2）解：设该玩具的制作成本为y元，则

y=0.45πx2+0.06×

=0.9πx2﹣7.2πx+28.8π

=0.9π（x﹣4）2+14.4π

所以当x﹣4=0，即x=4时，y的值最小．

答：当⊙O1的半径为4cm时，该玩具的制作成本最小．

【解析】（1）连接O1A．利用切线的性质知∠AO2O1= ∠CO2D=30°；然后在Rt△O1AO2中利用“30°角所对的直角边是斜边的一半”求得O1O2=2x；最后由图形中线段间的和差关系求得扇形O2CD的半径FO2为：EF﹣EO1﹣O1O2=24﹣3x；（2）设该玩具的制作成本为y元，则根据圆形的面积公式和扇形的面积公式列出y与x间的函数关系，然后利用二次函数的最值即可求得该玩具的最小制作成本．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的最值(如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a)，还要掌握切线的性质定理(切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径)的相关知识才是答题的关键．