题目内容
【题目】已知：在
中，
，点
为直线
上一动点(点不与
重合).以
为边作正方形
，连接
.
(1)如图1，当点在线段上时，求证：
.
(2)如图2，当点在线段的延长线上时，其他条件不变，请直接写出
三条线段之间的关系；
(3)如图3，当点在线段的反向延长线上时，且点
分别在直线的两侧.其他条件不变，若连接正方形对角线
，交点为
，连接
，探究
的形状，并说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)CF=BC+CD；(3)
是等腰三角形，理由见解析.
【解析】
(1)根据正方形的性质可得AD=AF，∠DAF=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CF；
(2)与(1)同理可得BD=CF，然后结合图形可得CF=BC+CD；
(3)根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC=∠ACB=45°，再根据邻补角的定义求出∠ABD=135°，再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠FCD=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OC=
DF，再根据正方形的对角线相等求出OC=OA，从而得到△AOC是等腰三角形．
(1) ∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
，
，
，
在
和
中，
，
，
；
(2)
，理由如下：
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD，∠CAF=∠CAD+∠DAF=∠CAD+90°，
，
在和中，
，
，
，
∵BD=BC+CD，
∴CF=BC+CD；
(3)
，
，
则
，
四边形
是正方形，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
则
为直角三角形，
正方形中，
为
中点，
，
在正方形中，
，
，
是等腰三角形.
