题目内容
（10分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB = 90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O.
（1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；
（2）设（1）中的相似比为
，若AD︰BC = 2︰3. 请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？
①当= 1时，是 ；
②当= 2时，是 ；
③当= 3时，是 .
请证明= 2时的结论.
（1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；
（2）设（1）中的相似比为
，若AD︰BC = 2︰3. 请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？①当
= 1时，是 ；②当
= 2时，是 ；③当
= 3时，是 .请证明
= 2时的结论.（1）证明：∵AD∥BC 
∴∠OBP = ∠O
DE ……………1分
在△BOP和△DOE中
∠OBP = ∠ODE
∠BOP =" ∠DOE " …………………2分
∴△BOP∽△DOE (有两个角对应相等的两三角形相似) ……………3分
（2）① 平行四边形 …………………4分
② 直角梯形 …………………5分
③ 等腰梯形 …………………7分
证明：∵k = 2时，
∴ BP =" 2DE" = AD
又∵AD︰BC = 2︰3 BC =
AD
PC =" BC" - BP =AD - AD =
AD = ED
ED∥PC , ∴四边形PCDE是平行四边形
∵∠DCB = 90°
∴四边形PCDE是矩形 …………………8分
∴ ∠EPB =" 90° " …………………9分
又∵ 在直角梯形ABCD中
AD∥BC, AB与DC不平行
∴ AE∥BP, AB与EP不平行
四边形ABPE是
直角梯形 ………………………10分
（本题其它证法参照此标准给分）
∴∠OBP = ∠O
DE ……………1分在△BOP和△DOE中
∠OBP = ∠ODE
∠BOP =" ∠DOE " …………………2分
∴△BOP∽△DOE (有两个角对应相等的两三角形相似) ……………3分
（2）① 平行四边形 …………………4分
② 直角梯形 …………………5分
③ 等腰梯形 …………………7分
证明：∵k = 2时，
∴ BP =" 2DE" = AD
又∵AD︰BC = 2︰3 BC =
ADPC =" BC" - BP =
AD - AD =AD = EDED∥PC , ∴四边形PCDE是平行四边形
∵∠DCB = 90°
∴四边形PCDE是矩形 …………………8分
∴ ∠EPB =" 90° " …………………9分
又∵ 在直角梯形ABCD中
AD∥BC, AB与DC不平行
∴ AE∥BP, AB与EP不平行
四边形ABPE是
直角梯形 ………………………10分（本题其它证法参照此标准给分）
略
练习册系列答案
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中，
，
，以
为直径的
与
相切于
．已知
，边
比
大6．
，使以
、
、
相似？若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由．
在强相似点？如果一定存在，请说明理由；如果不一定存在，请举出反例．
正确，并说明理由．再直接写出t＞0时满足题意的一个点P的坐标．
DF