题目内容
已知关于的方程x2+ax+b=0（b≠0）与x2+cx+d=0都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且ab=cd，则称它们互为“同根轮换方程”．如x2-x-6=0与x2-2x-3=0互为“同根轮换方程”．
（1）若关于x的方程x2+4x+m=0与x2-6x+n=0互为“同根轮换方程”，求m的值；
（2）若p是关于x的方程x2+ax+b=0（b≠0）的实数根，q是关于x的方程x2+2ax+
b=0的实数根，当p、q分别取何值时，方程x2+ax+b=0（b≠0）与x2+2ax+
b=0互为“同根轮换方程”，请说明理由．
（1）若关于x的方程x2+4x+m=0与x2-6x+n=0互为“同根轮换方程”，求m的值；
（2）若p是关于x的方程x2+ax+b=0（b≠0）的实数根，q是关于x的方程x2+2ax+
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（1）∵方程x2+4x+m=0与x2-6x+n=0互为“同根轮换方程”，
∴4m=-6n．
设t是公共根，则有t2+4t+m=0，t2-6t+n=0．
解得，t=
．
∵4m=-6n．∴t=-
．
∴（-
）2+4（-
）+m=0．
∴m=-12．
（2）∵x2-x-6=0与x2-2x-3=0互为“同根轮换方程”，
它们的公共根是3．
而3=（-3）×（-1）=-3×（-1）．
又∵x2+x-6=0与x2+2x-3=0互为“同根轮换方程”．
它们的公共根是-3．
而-3=-3×1．
∴当p=q=-3a时，
有9a2-3a2+b=0．
解得，b=-6a2．
∴x2+ax-6a2=0，x2+2ax-3a2=0．
解得，p=-3a，x1=2a；q=-3a，x2=a．
∵b≠0，∴-6a2≠0，∴a≠0．
∴2a≠a．即x1≠x2．
又∵2a×
b=ab，…（6分）
∴方程x2+ax+b=0（b≠0）与x2+2ax+
b=0互为“同根轮换方程”．
∴4m=-6n．
设t是公共根，则有t2+4t+m=0，t2-6t+n=0．
解得，t=
| n-m |
| 10 |
∵4m=-6n．∴t=-
| m |
| 6 |
∴（-
| m |
| 6 |
| m |
| 6 |
∴m=-12．
（2）∵x2-x-6=0与x2-2x-3=0互为“同根轮换方程”，
它们的公共根是3．
而3=（-3）×（-1）=-3×（-1）．
又∵x2+x-6=0与x2+2x-3=0互为“同根轮换方程”．
它们的公共根是-3．
而-3=-3×1．
∴当p=q=-3a时，
有9a2-3a2+b=0．
解得，b=-6a2．
∴x2+ax-6a2=0，x2+2ax-3a2=0．
解得，p=-3a，x1=2a；q=-3a，x2=a．
∵b≠0，∴-6a2≠0，∴a≠0．
∴2a≠a．即x1≠x2．
又∵2a×
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∴方程x2+ax+b=0（b≠0）与x2+2ax+
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练习册系列答案
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